- •1. Кривые в евклидовом пространстве
- •2. Формулы Френе для плоской кривой
- •3. Кривизна кривой. Длина кривой
- •4. Простые поверхности в евклидовом пространстве
- •5. Касательная плоскость
- •6. Длина кривой, заданной на поверхности
- •7. Первая квадратичная форма поверхности
- •8. Главные кривизны поверхности
- •9. Теорема (формула) Стокса
- •10. Теорема (формула) Остроградского
- •11. Скалярные поля. Поверхности уровня
- •12. Производная по направлению
- •13. Градиент скалярного поля
- •14. Оператор Гамильтона (набла-оператор). Правила работы с ним
- •15. Векторные поля. Векторные линии. Поток векторного поля
- •16. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского
- •17. Ротор векторного поля. Формула Стокса
- •18. Потенциальные поля. Условие потенциальности поля.
- •19. Соленоидальные поля. Условие соленоидальности.
- •20. Лапласово поле. Уравнение Лапласа.
- •21. Криволинейные ортогональные координаты
- •22. Коэффициенты Ламэ. Элементы длины кривой, площади поверхности, объема
- •27. Аффинное пространство
- •Определение
- •32. Тензоры в евклидовом пространстве
16. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского
Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).
Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:
дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.
Оператор дивергенции к полю F: divF
Определение дивергенции выглядит так:
где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объема ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что
Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:
— точка поля является источником;
— точка поля является стоком;
— стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
17. Ротор векторного поля. Формула Стокса
Ротор — векторная характеристика вихревой составляющей векторного поля. Это вектор с координатами:
18. Потенциальные поля. Условие потенциальности поля.
Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля.
В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работы при перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являются статическое электрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновой теории гравитации.