- •1)Вычисление определителя 2-го порядка. Вычисление определителя 3-го порядка разложением его по элементам какой-либо строки или столбца.
- •2) Что такое определитель? Что называется минором? Основные свойства определителей. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
- •3) Алгебраические дополнения. Вычисление определителя путём создания нулей в какой-либо строке или столбце. Показать на примере.
- •4) Что называется матрицей? Действия с матрицами. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •5)Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли при исследовании системы уравнений.
- •6) Метод Гаусса в решении систем линейных уравнений. Перечислить основные эквивалентные преобразования системы уравнений, допускаемые при использовании метода Гаусса.
- •8) Векторы, равенство векторов. Определение коллинеарности и компланарности векторов. Модуль вектора. Угол между векторами. Линейные операции с векторами.
- •9) Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.
- •10) Определение координат векторов. Вычисление координат вектора по известным координатам его начала и конца. Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •11) Разложение вектора по базису. Вычисление длины вектора. Условия коллинеарности векторов. Определение направления вектора с помощью направляющих косинусов.
- •12) Определение скалярного произведения двух векторов. Привести формулы скалярного произведения. Условие перпендикулярности двух векторов.
- •13) Дать определение векторного произведения, двух векторов. Вычисление с помощью векторного произведения площадей параллелограмма и треугольника.
- •14) Определение смешанного произведения 3-х векторов и его геометрический смысл. Вычисление смешанного произведения векторов в координатной форме. Условие компланарности векторов.
- •15) Вывод уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и имеющую заданный нормальный вектор. Общее уравнение плоскости.
- •16) Вывод уравнения плоскости в отрезках.
- •17) Вывод уравнения плоскости, проходящей через 3 точки.
- •18) Определение угла между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •19)Вывод формулы расстояния от точки до плоскости.
- •20) Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду.
- •21) Способы задания прямой в пространстве. Общие уравнения прямой и канонические уравнения прямой.
- •22) Угол между двумя прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
- •23) Отыскание точки пересечения прямой в пространстве с плоскостью.
- •24) Определение и вычисление угла между прямой в пространстве и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
- •26) Прямая на плоскости. Записать несколько видов уравнений, полученных как частный случай из уравнений плоскости и прямой в пространстве. Дать пояснения к этим уравнениям.
- •27) Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Записать формулу тангенса угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28) Линии 2-го порядка. Вывод канонических уравнений окружности, эллипса, гиперболы, параболы.
15) Вывод уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и имеющую заданный нормальный вектор. Общее уравнение плоскости.
В ДСК каждая плоскость заданная уравнением 1ой степени относительно текущих координат x,y,z и обратно всякое линейное уравнение определяет плоскость в пространстве это уравнение вида Ax+By+Cz+D=0 Называется общим уравнение плоскости в пространстве вектор N(A,B,C) перпендикулярен плоскости и называется нормальным а уравнение плоскости порходящей через точку и нормальный вектор N(A,B,C) имеет вид A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Если в этом уравнении раскрыть скобки и ввести обозначение D=-Ax0-By0-Cz0 то придем к уравнению плоскости в общем виде Ax+By+Cz+D=0
16) Вывод уравнения плоскости в отрезках.
В декартовых координатах плоскость задаётся уравнением прямой первой степени относительно текущих координат xyz и обратно, всякое линейное уравнение определяет плоскость в пространстве и имеет вид Ax+By+Cz+D=0 Если D=0 то начало координат плоскости в точку O(0,0,0) плоскость проходит через начало координат, но если D не равно нулю, то разделим все уравнение на D Ax+By+Cz+D=0|:D
Ax/D+By/D+Cz/D+1=0 где a b c – велечины отрезков которые отсекают плоскость на координатных осях отсюда получается уравнение плоскости в отрезках x/a+y/b+z/c=1
17) Вывод уравнения плоскости, проходящей через 3 точки.
Данное уравнение основано на условии комплонарности 3х векрторов M1(x1,y1,z1) M2(x2,y2,z2) M3(x3,y3,z3) M(x,y,z) Выберим произвольную точку М и проведем через 4 точки 3 вектора которые представим в виде M1M=(x-x1,y-y1,z-z1), M1M2=(x2-x1,y2-y1,z2-z1), M1M3=(x3-x1,y3-y1,z3-z1) Векторы комплонарны и потому линейно зависимы. Смешанное произведение этих векторов равно нулю. В этом случае определитель составленный из координат векторов должен обратиться в нуль.
18) Определение угла между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Угол между двумя плоскостями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 Вычисляется формулой cos фи=(N1*N2)/|N1||N2|=A1*A2+B1*B2+C1*C2/корень*корень
Условие параллельных 2-х плоскостей является коллинеарность их нормальных векторов: N1||N2 или A1/A2=B1/B2=C1/C2
Условием перпендикулярности двух плоскостей является равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов: (N1*N2)=0 или A1*A2+B1*B2+C1*C2=0
19)Вывод формулы расстояния от точки до плоскости.
Пусть даны плоскость Ax+By+Cz+D=0 и точка M0 не принадлежащая плоскости выберем произвольную точку принадлежащую плоскости строим вектор M0M Проекция вектора М0М на направление вектора нормали N к плоскости будет искомым расстоянием D=(N*M0M)/|N|=|A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)|/ Раскроем скобки под знаком модуля изменив знак на противоположный |-Ax+Ax0+By+By0-Cz-Cz0| Введем постоянную D=-Ax-By-Cz, получится d=1/ *|Ax0+By0+cz0+D| Если точка M0 и начало координат лежат по одну сторону от плоскости то под модулем получается знак «-» И наоборот.