- •1. Числ ряды
- •2.Действия над рядами Св-ва
- •3. Необх признак сх
- •6. Ряды с неотр Признаки сравнения
- •7. Признак Даламбера.
- •3) В случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
- •9. Интегральный признак Коши.
- •10.Знакпер ряд абс и услвн сх
- •12. Знакчеред ряды Лейбниц
- •14. Функ ряды область сх
- •15. Равн сх фр Вейерштрассе
- •17. Степ ряд Абель
- •25. Решение ду
- •27 Тригон ряд фурье
- •32. Разлож непериод функ
- •33. Тригоно ряд фурье в комп форме
- •34. Интеграл фурье
- •35 Комп форма инт фурье
- •36. Опред фкп
- •37. Предел и непрерывн фкп
- •42. Общая степен
- •43. Условие коши-риманна
- •47. Основн теор коши
- •48. Интегр формула коши
- •49. Фкп в комп области степ ряд
- •50. Ряд тейлора в фкп
- •51. Ряд лорана фкп
- •52. Особые точки
- •53. Вычеты
- •54. Основн теор вычет
- •55. Вычисл вычет интегр
- •57. Теор подобия смещен опереж
- •58. Ди и инт изобр
- •59. Свертка
1. Числ ряды
Числ ряд – сумма упорядоченного мн-ва чисел;
a1+а2+а3+…+аn+…
ai- член числ послед-ти
Частичные суммы ряда:
S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
Sn=a1+a2+a3+…+an
Сумма ряда – предел вида S=limn→∞Sn, если он сущ.
Если предел не существует или =∞ — ряд расход, в противн случае сходиться
S=Sn+rn
rn– остаток ряда(остаточный член)
Если ряд сходиться, то rn →0 при n→∞
2.Действия над рядами Св-ва
Св-ва:
1) если ряд (1) сходиться в сумме S, то и ряд, полученный из данного при умножении ai на λ (i=1,n), тоже сходиться, и его сумма равна λS.
Док-во: limn→∞Sn=S
Sn= a1+a2+a3+…+an
δn= λa1+ λa2+ λa3+…+ λan
limn→∞δn= λ limn→∞Sn= λS
2) Если сходиться ряд (1) в сумме S, и сходиться ряд (2) b1+b2+b3+…+bn в сумме δ, то и сходиться ряд 3 (a1±b1 +a2±b2 +a3±b3 +…+an±bn+…) в сумме S±δ
Док-во: аналогично.
3. Необх признак сх
(1) a1+а2+а3+…+аn+…
Если числовой ряд (1) сходиться, то предел его n-го члена при n→∞ равен 0
Док-во: по определению ряд сходится =>
Сущ. limn→∞Sn=S
Если последовательность имеет предел, то он единственный
limn→∞Sn+1=S
limn→∞(Sn+1-Sn)=S-S=0
limn→∞an+1=0, ч.т.д.
6. Ряды с неотр Признаки сравнения
Пусть имеем два ряда с положительными членами
a1+a2+…+an+…(1) и b1+b2+…+bn+… (2), для которых выполняется условие: an bn. Тогда 1) если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2); 2) если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1) .
Док-во:
Поскольку и an, bn — положительные, то м. утверждать: , где Sn и σn — n-частичные суммы 1-го и 2-го рядов;
значит, если существует (ряд 1 сходится), то существует и (ряд 2 сходится)
7. Признак Даламбера.
Если в ряду с положительными членами отношение (n + 1)-го члена к n-му при имеет конечный предел l, то есть , то
ряд сходится в случае ;
ряд расходится в случае ;
3) в случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
8. Радикальный признак Коши.
Если для ряда с положительными членами величина имеет конечный предел l при , то есть , то
в случае ряд сходится;
в случае ряд расходится;
3) В случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
Пусть . Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению . Начиная с некоторого номера n=N будет иметь место соотношение . Отсюда следует, что или для всех . Рассмотрим теперь два ряда: (1) и (2). Ряд 2 сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию. Члены ряда 1, начиная с , меньше членов ряда 2. Следовательно, ряд 1 сходится.
Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера n=N будем иметь или . Но если все члены рассматриваемого ряда, начиная с , больше 1, то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю.
9. Интегральный признак Коши.
Пусть члены ряда положительны и не возрастают, то есть и пусть f(х) – такая непрерывная не возрастающая функция, что , , .
Тогда справедливы следующие утверждения: если несобственный интеграл сходится, то сходится и исходный ряд;
если указанный интеграл расходится, то расходится и исходный ряд.
Предположим, что интеграл сходится, то есть имеет конечное значение. Так как , то , то есть частичная сумма Sn остается ограниченной при всех значениях n. Но при увеличении n она возрастает, так как все члены un положительны. Следовательно, Sn при имеет конечный придел , то есть ряд сходится.