36.Вычеты фкп.
Если
ф-ция аналитическая в какой-то конкр.
окрестности z=a,
она может быть разложена в ряд Лорана:
Особую
роль среди коэф-тов играет коэф-т С-1.
Он наз. вычетом ф-ции f(z)
в точке z=a.
.
,
где контур
замкнутый контур, окружающий точку z=a
и положительно ориентированный. В
качестве можно
взят окр. С центром в точке а достаточно
малого радиуса (чтобы контур не содержал
внутри других особых точек).
.
Вычисление вычетов в полюсе.
Пуст
точка z=a
явл. полюсом 1-ого порядка. В этом случае
разложение в ряд Лорана
.
Домножим f(z)
на z-a
.
Переходя к пределу при
,
получим, что
.
.
Умножим выражение на (z-a)k
.
Продифференцировать к-1 раз это выражение
и переходя к пределу при
,
получим:
.
Основная теорема о вычетах.
Пусть ф-ция f(z) аналитична в некоторой области за исключением крнечного числа особых точек, то согласно теореме (интегр.) Коши для многосвязной области:
.
С другой стороны, если интеграл расписать
как
37.Применение вычетов к вычислению интегралов.
Е
сли
функция f(z)
аналитическая в замкнутой области D
за исключением конечного числа особых
точек
,
то
(*).
Док-во:
(по теор. Коши)
.
Как вычислить вычет?
Е
сли
точка
правильная или устранимая особая точка
функции f(z),
то
.
Е
сли
точка -полюс
(z-a)f(z)=
Отсюда
=(z-a)f(z)-
Для случая, когда только один член отрицательный, вычет запишется
-вычет,если точка z=a является полюсом m-го порядка.
Применение вычетов к вычислению интегралов.
С помощью вычетов в ряде случаев могут быть вычислены определённые и несобственные интегралы от функций действительной переменной. Некоторые из таких случаев:
1.
Если R(sinx,cosx)
– рациональная функция от sinx,cosx,
непрерывная при
(или
),
то, сделав подстановку
,
можно показать, что
Значение интеграла в правой части этого выражения равно сумме вычетов подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих внутри окружности |z|=1, умноженной на 2πi.
2.
Если f(z) –
дробно-рациональная функция, аналитическая
на действительной оси и в верхней
полуплоскости(Imz>0), за
исключением конечного числа особых
точек z1…zn,
лежащих в верхней полуплоскости (т.е.
),
и если
при
,
то
.
3.Если
f(z) --
дробно-рациональная функция, аналитическая
на действительной оси и в верхней
полуплоскости, за исключением конечного
числа особых точек z1…zn,
лежащих в верхней полуплоскости , и
если
при
,
то для любого
;
.
1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда.
2. Необходимый признак сходимости. Основные свойства числовых рядов.
3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (сравнения, Даламбера, Коши).
4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
5. Знакопеременные ряды. Теорема о сходимости знакопеременного ряда.
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
6. Функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Область сходимости.
7. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса.
8. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Вычисление радиуса
сходимости.
10.Ряды Тейлора и Маклорена.
11.Достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора.
12.Разложение в ряд Тейлора элементарных функций (sin х, cos х, е в степени X , 1n(l +х), (1 +х) в степени Alfa).
13.Применение степенных рядов к вычислению интегралов, значений функций, решению ДУ.
14. Тригонометрическая система функций и ее свойства.
15. Тригонометрический ряд. Сходимость. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.
16.Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п.
17.Разложение в ряд функций с периодом 2 l.
18.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
19.Разложение в ряд Фурье периодических функций.
20.Приближение в среднем функции тригонометрическими полиномами.
21.Неравенство Бесселя.
22.Интеграл Фурье. Синус и косинус преобразование Фурье.
23.Ряд Фурье в комплексной форме.
24.Интеграл Фурье в комплексной форме.
25.0пределение и область существования функции комплексной переменной (ФКП).
26.Предел и непрерывность ФКП.
27.Дифференцирование ФКП.
28.Геометрический смысл модуля и аргумента производной ФКП.
29.Аналитичность ФКП. Условия Коши-Римана.
30.Интегрирование ФКП.
3l.Интегральная формула Коши.
32.Степенные ряды ФКП. Радиус и круг сходимости.
ЗЗ. Ряд Тейлора ФКП.
34.Ряд Лорана и область его сходимости.
35.0собые точки и их классификация.
36.Вычеты ФКП.
37.Применение вычетов к вычислению интегралов.