- •4. Монотонные функции. Обратная функция. Предел функции в точке.
- •12. Дифференциал как главная часть приращения.
- •13. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.
- •19. Интегрирование заменой переменных.
- •19 (2). Интегрирование иррациональных функций
- •22.Площадь сектора, заданного в полярных координатах:
- •25. Объём тела вращения
- •26. Площадь поверхности вращения
- •28 Двойной интеграл как оббьем под графиком функции. Двойной интеграл как масса пластины.
- •29.Основные свойства двойного интеграла.
- •32.Формула Грина.
- •31. Криволинейный интеграл 2 рода.
- •33.Поверхностный интеграл первого рода.
- •35. Сферические системы координат. Якобиан сск. Вычисление тройного интеграла в сск
- •36. Поверхностного интеграла 2-го рода
- •37. Стокса формула
- •38. Формул Остроградского-Гаусса
22.Площадь сектора, заданного в полярных координатах:
Площадь S сектора ОАВ вычисляется по формуле:
23. Длинна дуги кривой. Длина дуги кривой заданной параметрически
Пусть уравнение кривой L задано в параметрической форме: х = x{i), у = y(i), где функции x(t), y(t) непрерывно дифференцируемы на причем на Тогда
и
Длина дуги кривой заданной в полярных координатах
Полярные координаты
Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах r = r(φ), а≤φ≤β. Предположим, что r(φ) и r'(φ) непрерывны на отрезке [а;β].
Если в равенствах х = rcosφ, у = rsinφ, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол φ, то кривую АВ можно задать параметрически
Тогда
Поэтому
Применяя формулу:
Получаем:
24. Объем тела по площади параллельных сечений. Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi. Прикладная математика и физика
Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны Mixi и mixi здесь xi = xi - xi-1.
Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .
При стремлении к нулю шага разбиения , эти суммы имеют общий предел:
Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:
25. Объём тела вращения
В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией y = f ( x), а ≤ x ≤ b, объем тела вращения вычисляется по формуле
Действительно, сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку (х, 0), представляет собой круг радиуса f(x). Площадь этого сечения (площадь круга) равна S(x) = π ( f ( x ) )2. Из формулы объёма тела по параллельным сечениям получаем формулу
Замечание. Если криволинейная трапеция 0 ≤ х ≤ φ (у), а ≤ у ≤ b вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения найдём по формуле
26. Площадь поверхности вращения
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна Pi. Эта площадь может быть найдена по формуле:
Здесь Si – длина каждой хорды.
Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к отношению .
Получаем:
Тогда ,
Площадь поверхности, описанной ломаной равна:
Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что
Тогда - формула вычисления площади поверхности тела вращения.
27.Несобственные интегралы первого и второго рода. Примеры. Признак сравнение для сходимости несобственного интеграла. Определенный интеграл где промежуток интегрирования [а; b] конечный, а подынтегральная функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], называют еще собственным интегралом.Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а;+∞). Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом первого родаи обозначают
Несобственный интеграл с двумя бесконечны ми пределами определяется формулой где с — произвольное число.В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция ƒ (х) ≥ 0 на промежутке [а; +∞) и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции. .
Несобственый интеграл 2 рода
Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен,то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично,если функция ƒ (х) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают
Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
интеграл расходится.