Правила построения формул логики высказываний

1. Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня. Если элементарное высказывание всегда верно, мы будем его обозначать буквой И, а если оно всегда неверно, — буквой Л. Тогда формулы первого уровня — это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка.

2. Пусть Ф1 и Ф2 — формулы ненулевого уровня. Тогда записи (¬(Ф1)), ((Ф1) (Ф2)), ((Ф1) (Ф2)), ((Ф1)→(Ф2)) также являются формулами. Если же одна из формул Ф1 и Ф2 , к которым применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, то она в скобки не заключается.

Теперь, зная буквы-элементарные высказывания, мы никогда не ошибёмся, определяя, является ли формулой запись, содержащая эти буквы, скобки и символы связок, то есть правильно ли построено сложное высказывание. В процессе подобного опознавания мы выделяем части формулы, то есть более короткие формулы, из которых на каждом этапе строится более длинная формула с применением одной связки. Самыми простыми частями формулы являются, разумеется, элементарные высказывания. Значит, логический анализ формулы сводится к выделению всех её частей.

Пример

Пусть элементарными высказываниями являются А, В, С. Записи

¬ A  BC и (B) (B A→C)

c формальной точки зрения не являются формулами, так как мы натыкаемся при их разборе на нарушение правил построения формул. (В первом случае отсутствует логическая связка между B и C и отсутствуют скобки вокруг ¬A. Во втором случае формула нулевого уровня В включена в скобки). А записи

(¬ A) (B C) и B ((B A)→C)

вполне соответствуют требованиям построения формулы. В процессе анализа формулы (¬ A) (B C) выделяются следующие её части:

( ¬A ) ( B C )

| Связующее действие

¬A B C | Разделённые части (формулы первого уровня)

¬ | Связующее действие

A B C | Разделённые части (формулы нулевого уровня)

| Все разделённые части являются элементарными высказываниями; разбор закончен.

В этом примере все элементарные высказывания были выделены на втором шаге исследования дерева. Но это совпадение; если бы вместо формулы первого уровня (¬A) была использована формула нулевого уровня А, то левая ветвь была бы короче правой.

Построенная нами конструкция отдалённо напоминает дерево, растущее вверх ногами. «Корень» его — исходная формула, роль «веток» играют логические связки. Там, где имеется разветвление, стоят части формулы. А на концах веток растут «листья» — элементарные высказывания.

Подобные конструкции часто используются в математике и в программировании, они так и называются «деревьями».

Соглашения о скобках

Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, математики приняли соглашения о скобках, по которым некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются так:

• Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются.

• Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например,  ), то в скобки заключается сначала самая левая часть (т.е. две подформулы со связкой между ними). (Говорят также, что эти связки левоассоциативны.)

• Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно приоритетам:   и   (от высшего к низшему).

Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.

Например: запись   означает формулу  , а её длина равна 12.