- •11) Линейные однородные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •12) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
- •13) Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •14) Функции двух переменных
- •15) Частные производные.
- •16) Полный дифференциал функции нескольких переменных.
- •17)Производные и дифференциалы высших порядков
- •20) Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума
- •21) Условный экстремум. Сведение задачи на условный экстремум к задаче не безусловный
- •22) Метод множителей Лагранжа, решение задач на условный экстремум
- •23) Экстремум функции трех переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум.
- •24) Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •25) Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл. Теорема существования двойного интеграла.
- •26) Вычисление двойного интеграла: повторный или двукратный интеграл
- •27) Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.
- •28) Замена переменных в двойном интеграле
- •29) Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •3 0) Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
- •31) Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах: повторный и троекратный интеграл.
- •32) Замена переменных в тройном интеграле
- •33)Свойства тройного интеграла
- •34)Числовой ряд. Задание числового ряда. Частичные суммы. Сходимость и расходимость ряда
- •35)Геометрическая прогрессия. Сходимость и расходимость геометрической прогрессии.
- •38) Необходимый признак сходимости числового ряда. Достаточный признак расходимости числового ряда.
- •39) Признак сравнения и предельный признак сравнения числовых рядов с положительными членами.
- •40)Достаточные признаки сходимости: 1) признак Даламбера; 2) радикальный признак Коши; 3) интегральный признак Коши
- •41)Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов.
- •42)Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
- •43)Свойства сходящихся числовых рядов.
14) Функции двух переменных
Пусть имеется n+1 переменная x1,x2,...,xn,y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1,x2,...,xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1,x2,...,xn называется значением функции f в точке (x1,x2,...,xn),что записывается в виде формулы y=f(x1,x2,...,xn) или y=y(x1,x2,...,xn). Переменные x1,x2,...,xn являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных. Аргументы функции двух переменных будут обозначаться, как правило, x и y, а значение функции - z. Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y). Множество D называется областью определения функции. В связи с этим определение.
Переменная z называется функцией двух переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î D ставится в соответствие определенное значение переменной z.
Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.
|
График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)ÎD. График представляет собой некоторую поверхность. Предел функции. Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству называется d-окрестностью точки М0(х0;у0). Другими словами, d-окрестность точки Мо — это все внутренние точки круга с центром Мо и радиусом 8 (см. рис. 206).
Пусть функция z = ƒ(х; у) определена в некоторой окрестности точки М0(х0;у0), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = ƒ (х; у) при х → х0 и у → у0 (или, что то же самое, при М(х; у) → М0(х0; у0)), если для любого є > 0 существует d > 0 такое, что для всех х ≠ х0 и у ≠ у0 и удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство | ƒ (х; у) — А| < є. Записывают:
Непрерывность функции двух переменных в точке
Пусть f – функция двух переменных и M0(x0,y0) – предельная точка множества D(f), принадлежащая этому множеству. Тогда функция fназывается непрерывной в точке M0, если:
.
Определение 7. Функция f называется непрерывной в точке M0, если M0ÎD(f) и для любой точки Mn, принадлежащей D(f) выполняется условие:
.
Следовательно, функция является непрерывной в точке, если: 1. функция определена в этой точке; 2. имеет предел в этой точке; 3. предел равен значению функции в этой точке. В противном же случае функция терпит разрыв в этой точке.