7. Векторы. Прямое произведение множеств. Мощности прямого произведения множеств.

Вектор (или кортеж) - это упорядоченный набор элементов. Например,  . Элементы вектора называются координатами или компонентами. Число координат - длина вектора (размерность).

Координаты вектора могут совпадать  .

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и равны соответствующие координаты:   и 

Проекцией вектора   на ось   (   ) называется его i-я компонента. 

Проекцией вектора   на оси с номерами   называется вектор   длины  .

Пример:  ,

Прямое произведение

Прямым (декартовым) произведением множеств   и   (   ) называется множество всех векторов  , таких, что  :

Если  , то  . Аналогично для нескольких множеств. Прямым произведением множества   называетсямножество всех векторов длины  , таких, что  .

Примеры.

1. Множество   - множество точек плоскости, точнее пар вида  , где   и являются координатами.

2. .

Тогда   - множество всех 64 клеток шахматной доски.

3.  - множество букв, символов, знаков препинания и т. д. Тогда элементы множества   - слова длины  . Множество всех слов   составляет язык.

4. .

Следовательно,  .

Теорема о мощности прямого произведения

Пусть   - конечные множества. Соответственно мощности этих множеств равны:  .

Тогда мощность прямого произведения   множеств равна произведению мощностей соответствующих множеств, т.е.  .

Доказательство методом математической индукции.

Для   теорема тривиально верна. Предположим, что она верна и для   и докажем ее справедливость для  .

По предположению  . Возьмем любой вектор   из   и припишем справа элемент  . Это можно сделать   способом, т. е. получим   различных векторов из  .

Таким образом, из всех   векторов приписыванием справа элемента из   можно получить   векторов, причем все они различны. Поэтому для   теорема верна и, следовательно, верна для любых  .

Следствие: 

8. Отношения. Основные понятия отношений (отношения; унарные, бинарные, n-местные отношения)

Отношения это один из способов задания взаимосвязи между элементами множества. ОТНОШЕНИЕ - подмножество конечной декартовой степени   данного множества А, т. е. подмножество систем (a₁, а₂,.., a _п).из пэлементов множества А.

Подмножество   наз. п- местным, или n-арным, отношением в множестве А. Число n наз. рангом, или типом, отношенияR. Подмножество   наз. также n-местным, или n-арным, предикатом на множестве А . Запись  означает, что  .Одноместные О. наз. свойствами. Двуместные О. наз. бинарными, трехместные О. - тернарными и т. д.

В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется непустое множество упорядоченных пар элементов этого множества. Бинарное отношение R из множества А в множество В называется подмножества прямого произведения А и В.

По существу одноместное (унарное) отношение есть подмножество некоторого множества М. Установить на М унарное отношение означает приписать некоторым его элементам признак R.

На языке теории множеств и алгебры n-местным отношением называется множество (класс) упорядоченных систем из n элwементов (упорядоченных n-ок, соответственно — упорядоченных пар) членов некоторого множества. Это множество назвается полем данного отношения.

Если, например, упорядоченная пара (х, у) принадлежит некоторому отношению R, то говорят также, что х находится в отношении R к у (символически: R(xy) или xRy).