16. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции). Предел числовой последовательности
Определение.
Если по некоторому закону каждому
натуральному числу
поставлено в соответствие вполне
определенное число
,
то говорят, что задана числовая
последовательность
:
.
Другими словами,
числовая последовательность - это
функция натурального аргумента:
.
Числа
называются членами
последовательности, а число
-
общим или
-м
членом данной последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
1)
(монотонная, неограниченная),
2)
(не монотонная, ограниченная)
3)
Рассмотрим числовую последовательность , изобразив ее точками на числовой оси (рис.4.1):
Видно, что члены
последовательности
с ростом
как угодно близко приближаются к 0. При
этом абсолютная величина разности
становится все меньше и меньше.
Определение.
Число
называется пределом числовой
последовательности
,
если для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа
,
найдется такой
(зависящий от
),
что для всех членов последовательности
с номерами
верно неравенство:
.
Обозначают:
.
Или
при
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Предел функции в бесконечности и в точке
Предел
функции в бесконечности:
С понятием предела числовой
последовательности
тесно связано понятие предела функции
в бесконечности. Если в первом случае
переменная
возрастая, принимает лишь целые значения,
то во втором случае переменная
,
изменяясь, принимает любые значения.
Определение.
Число
называется пределом функции
при
стремящемся к бесконечности, если для
любого, даже сколь угодно малого
положительного числа
,
найдется такое положительное число
(зависящее от
),
что для всех
таких что
,
верно неравенство:
.
Это
предел функции обозначается:
или
при
.
Можно
сформулировать понятие предела при
стремлении
к бесконечности определенного знака,
т.е. при
и при
.
В первом случае основное неравенство:
должно выполнятся для всех
таких, что
,
а во втором – для всех
таких, что
.
Предел
функции в точке: Пусть
функция
задана в некоторой окрестности точки
,
кроме, быть может, самой точки
.
Определение.
Число
называется пределом функции
при
стремящемся к
(или в точке
),
если для любого, даже сколько угодно
малого положительного числа
,
найдется такое положительное число
(зависящее от
),
что для всех
,
не равных
и удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Это
предел функции обозначается:
или
при
.
Если при стремлении
к
переменная
принимает лишь значения, меньшие
,
или наоборот, лишь значения большие
,
и при этом функция
стремится
к некоторому числу
,
то говорят об односторонних
пределах
функции
соответственно слева
и справа
.
Признаки существования предела
Теорема 1. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 2.
Если в некоторой окрестности точки
(или при достаточно больших значениях
)
функция
заключена между двумя функциями
и
,
имеющими одинаковый предел
при
(или
),
то функция
имеет тот же предел
.
Пусть при
,
.
Это
означает, что для любого
найдется такое число
,
что для всех
и удовлетворяющих условию
будут верны одновременно неравенства:
(1.1)
или
Т.к. по условию функция заключена между двумя функциями, т.е.:
,
то из неравенств (1.1)
следует, что
,
т.е.:
.
А это и означает,
что
