Указания к выполнению задания 1

Y

S

Y L

P

L

М

Q

М₁

М₂

X

O

-3 -2 -1 0 X

Рис 1. Рис. 2

Если кривая в точке имеет касательную MS (рис.1) , то ее уравнением будет , причем угловой коэффициент .

Здесь - угол между MS и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение касательной: или .

Уравнение нормали : или .

Все задачи решаются по единому плану: надо найти координаты точки касания ; найти производную функции ; ее значение в точке касания ; записать уравнения касательной и нормали. Уравнения полученных прямых записать в общем виде : .

Пример 1. Написать уравнения касательной и нормали к гиперболе в точке , в которой касательная параллельна прямой (рис.2).

Решение. Так как касательная , то , но . Из этого условия найдем координаты точки касания М. . Решив уравнение , найдем . Тогда из уравнения кривой находим: . Таким образом, получаем две точки касания: . Уравнение касательной в точке или . Уравнение нормали в точке или . Уравнение касательной в точке или . Уравнение нормали в точке или .

Замечание. Кривая гипербола, состоящая из двух ветвей. На каждой из ее ветвей лежит по одной точке касания, поэтому задача имеет два решения (рис.2).

Пример 2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение. Координаты точки касания здесь известны: . Поэтому надо найти . Найдем производную по формуле . Итак, . Найдем значение параметра , соответствующее точке касания . Для этого решим систему уравнений относительно t при .

Таким образом, точке касания соответствует значение параметра . Отсюда . Так как , то это значит, что касательная перпендикулярна к оси ОХ и ее уравнение . Нормаль имеет уравнение .