§8. Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Метод невизначених коефіцієнтів

У цьому параграфі розглядатимемо неоднорідні лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

у" + а₁у' + а₂у = Q(х), (66)

де а₁ і а₂ — сталі дійсні числа, а — функція, неперервна на деякому проміжку <а; b>

Вище було розглянуто структуру загального розв'язку однорід­ного диференціального рівняння

у" + а₁у' + а₂у = 0, (67)

а також було доведено, що загальний розв'язок рівняння (67) зобра­жується у вигляді

де С₁ і С₂ — довільні сталі, а функції у₁ = у₁ (х), у₂ = у₂ (х) залеж­но від випадків 1, 2, 3 визначаються відповідно формулами (58), (62), (65)

Загальний розв'язок рівняння (66), як це випливає з теореми, визначається формулою

(68)

де v (х) є розв'язок неоднорідного диференціального рівняння (66).

Отже, щоб знайти загальний розв'язок неоднорідного диферен­ціального рівняння (66). треба знайти загальний розв'язок відповід­ного однорідного рівняння (67) І додати до нього один який-небудь розв'язок v = v (х) неоднорідного рівняння (66).

Зауважимо, що розв'язок v = v (х) є окремим розв'язком рів­няння (66), бо він утворюється із загального розв'язку (Ь8) при С₁ = С₂ = 0.

ПРИКЛАД.

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння

у" - y =x .

Розв'язання. Тут загальний розв'язок однорідного рівняння

у" - y =0

є функція

Легко бачити, що функція v=-x є розв‘язком заданого рівняння. Тому загальний розв‘язок заданого рівняння є функція

Метод невизначених коефіцієнтів. Як було доведено для неоднорідного диференціального рівняння (66) з будь-якою неперерв­ною правою частиною Q (х) загальний розв'язок цього рівняння зна­ходиться (методом Лагранжа) в квадратурах. Проте для деяких видів функції ф (х) окремий розв'язок рівняння (66) можна знайти без квадратур. Отже, додаючи цей розв'язок до загального розв'язку від­повідного однорідного рівняння, матимемо загальний розв'язок і рівняння (66).

Розглянемо ці випадки.

Випадок 1. Нехай права частина в рівнянні (66) має вигляд (69) де Р_п (х) — многочлен степеня п;

r — будь-яке дійсне число.

При цьому можуть бути такі випадки:

1°. Число г не е коренем характеристичного рівняння відповідно однорідного диференціального рівняння (67), тобто

Тоді диференціальне рівняння (66) має окремий розв'язок виду

v(x)=Ф_п(x)е^rx,

де Ф_n (х) — многочлен степеня п,

Ф_п(х) = с₀ + с₁х+ ... +с_пхⁿ

з невизначеними коефіцієнтами с₀, с₁ ..., с_п. Щоб знайти ці коефіці­єнти, треба функцію v (х) підставити в рівняння (66) і в утвореній тотожності прирівняти коефіцієнти при однакових степенях х. Внас­лідок цього матимемо систему п рівнянь, з якої, однозначно визна­чаються згадані коефіцієнти.

Диференціальні рівняння вищих порядків Основні означення і поняття. Теорема про існування і єдність розв'язку

Розглянемо тепер диференціальні рівняння вищих порядків, тобто рівняння, що містять похідні вищих порядків. Порядок най­вищої похідної називають порядком диференціального рівняння. Зокрема, диференціальним рівнянням порядку п називають співвідношення виду

д е х — незалежна змінна, у = у (х) — шукана функція, а у', ... ..., — відповідні похідні функції у. Величини х, у, у', ... ..., можуть і не входити у рівняння (1), але похідна порядку п повинна входити обов'язково.

П рипустимо, що рівняння (1) розв'язне відносно старшої похід­ної

(2)

Р івняння (2) називають диференціальним рівнянням порядку п, розв'язаним відносно похідної n-го порядку. У по­дальшому вивчатимемо диференціальні рівняння виду (2).

Будь-яка неперервна і п раз диференційована на проміжку <a;b> функція

називається розв'язком диференціаль­ного рівняння (2) на цьому проміжку, якщо вона перетворює це рів­няння в тотожність

я ка виконується для будь-якого . Зазначимо, що а і b можуть бути невласними числами, відповідно — і + .

Процес знаходження розв'язку диференціального рівняння (2) називають інтегруванням цього рівняння.

Так, диференціальне рівняння другого порядку

(3)

м ає в інтервалі ]— ; + [ розв'язок у = е^х, оскільки задана функ­ція на цьому інтервалі неперервна, двічі (навіть нескінченне число раз) диференційована і справджується тотожність

Д иференціальне рівняння

(4)

н а пів відрізку [0; ] має розв'язок

У цьому можна впевнитися безпосередньою підстановкою. Якщо права частина диференціального рівняння (2) задовольняє певним умовам, то таке рівняння має загальний розв'язок

(5)

де С₁ С₂, Сn— довільні сталі.

Розв'язок, який можна дістати із загального розв'язку (5) при окремих числових значеннях сталих С₁, С₂, ..., С_n, називають окремим розв'язком диференціального рівняння (2).

Т ак, диференціальне рівняння (3) в інтервалі ]—оо; + оо[ має загальний розв'язок

(6)

де С₁ і С₂ — довільні сталі. Справді, доведемо, що функція (6) є розв'язком диференціального рівняння (3). Для цього знайдемо другу похідну цієї функції:

О тже, . Оскільки розв'язок (6) містить дві довільні сталі, то він є загальним розв'язком.

Розглянутий раніше розв'язок у = е^х є окремим розв'язком диференціального рівняння (3), бо він утворюється із загального при С₁ = 1 і С₂ = 0.

Д иференціальне рівняння (4) має загальний розв'язок

де С_1? С₂, С₃ — довільні сталі. Справді, знайдемо третю похідну функції (7) :

П ідставляючи значення у рівняння (4), дістаємо

Ця тотожність справджується для будь-якого

О скільки розв'язок (7) містить довільні сталі С₁ С₂ і С₃, то він є загальним розв'язком диференціального рівняння (4).

Розв'язок є окремим розв'язком диференціального рів­няння (4), бо він утворюється із загального розв'язку (7) при С₁ = 1, С₂ = С₃ = 0.

З геометричної точки зору загальний розв'язок диференціаль­ного рівняння (2) є сім'я кривих, залежних від п параметрів С₁, С₂, ..., С_n, а окремий розв'язок — окремою кривою з цієї сім'ї. Ці криві називають ще інтегральними кривими диферен­ціального рівняння (2).

Для диференціального рівняння порядку п виду (2), як і для диференціального рівняння першого порядку, розглядається задача Коші (задача з початковими умовами), яка ставиться так: серед усіх розв'язків рівняння (2) треба знайти той розв'язок у = у (х), який при х = х₀, де х₀ — довільна точка проміжку <a; b>, задовольняє умови:

(8)

д е , ... , — довільні наперед задані дійсні числа.

Ч исла , . .... , називають початковими даними розв'язку у = у (х), а число — початковим значенням незалежної змінної x. Взяті разом числа х₀, у₀, у₀, ..., називають початковими даними рівняння (2), а умови (8) — почат­ковими умовами диференціального рівняння (2).

Так, для диференціального рівняння другого порядку

(9)

задача Коші полягає в знаходженні розв'язку у = у (х) цього рів­няння, який задовольняє початкові умови:

(10)

Д ля диференціального рівняння другого порядку (9) задача Коші набирає такого геометричного змісту: серед усіх інтегральних кривих рівняння (9) виділити (знайти) ту Інтегральну криву, яка проходила б через задану точку М₀ (х₀; у₀) і мала б у цій точці заданий напрям дотичної, тобто (рис 93).

Д амо механічну трактовку задачі Коші. Для цього розглянемо диференціальне рівняння

яке описує рух точки вздовж прямої під дією сили

З адача Коші для диференціального рівняння (12) полягає в тому, що з усіх рухів (розв'язки диференціального рівняння (12) називають в механіці рухами), які визначаються цим рівнянням, треба знайти рух х — х (t), який задовольняє початкові умови:

(ІЗ)

т обто знайти такий рух, в якому рухома точка в заданий момент часу tо знаходилася б у положенні х₀ і мала б задану початкову швид­кість .

Як і для диференціального рівняння першого порядку, так і для диференціального рівняння порядку п природним є питання: яким умовам повинна задовольняти права частина рівняння (2), щоб задача Коші для даного рівняння мала розв'язок і цей розв'язок був би єдиним.