Решение
Строим область допустимых решений (ОДР).
Ограничения (1)-(4) линейные, поэтому каждое из неравенств задает соответствующую полуплоскость, ограниченную прямой, уравнение которой получается, если знак неравенства заменить на знак равенства. Последние два ограничения (5) задают первую четверть декартовой системы координат.
Выразим из каждого уравнения (1)-(4) переменную х2:
Строим полученные линии:
(1)
(2)
(3)
(4)
Определяем полуплоскости задаваемые неравенствами, расположение полуплоскостей относительно прямых указываем стрелками:
(1)
(2)
(3)
(4)
Областью допустимых решений является пустое множество из-за несовместности системы ограничений (в частности, в I четверти несовместны неравенства (1) и (4)).
Значит
не имеет решения в заданной системе
ограничений.
Проверим результат в пакете Excel с помощью встроенной функции Поиск решения:
Вводим исходные данные, зависимость для целевой функции и зависимости для ограничений:
Получаем форму для решения задачи:
После выбора команды Сервис/Поиск решения оформляем диалоговое окно.
Назначим целевую функцию и вводим ограничения:
Вводим параметры для решения ЗЛП:
Важно установить флажки в окнах Линейная модель (это обеспечит применение симплекс-метода) и Неотрицательные значения. Далее нажимаем ОК и выполняем поиск решения.
После нажатия клавиши Выполнить в диалоговом окне Поиск решения осуществляется реализация модели и выдается сообщение об успешности решения:
Ниже приведены результаты решения задачи:
Видим, что программа приводит результат, но выдает не выполнение первого и второго неравенства 6,8 не больше, чем 18; 0 не больше 2), что говорит о невозможности нахождения решения из-за несовместности ограничений.
Ответ: целевая функция не имеет решения.
Задача 3.12. Решить задачу графическим способом.
Решение
Строим область допустимых решений (ОДР).
Ограничения (1)-(3) линейные, поэтому каждое из неравенств задает соответствующую полуплоскость, ограниченную прямой, уравнение которой получается, если знак неравенства заменить на знак равенства. Последние два ограничения задают квадрат в первой четверти декартовой системы координат.
Выразим из каждого уравнения (1)-(3) переменную х2:
Строим полученные линии:
(1)
(2)
(3)
Определяем полуплоскости задаваемые неравенствами, расположение полуплоскостей относительно прямых указываем стрелками:
(1)
(2)
(3)
А
B
C
D
E
Областью допустимых решений является четырехугольная область АВСDE (на графике).
Проводим линию уровня, проходящую через ОДР
,
отсюда
:
при С = -6:
и строим вектор-градиент целевой функции:
= (2; 3)
Линия уровня при
С = -6
= (2;
3)
(1)
(2)
(3)
А
B
C
D
E
Ищем максимум функции. Передвигаем линию уровня по направлению вектора-градиента, до тех пор, пока она не покинет ОДР. При С = 5 получаем линию уровня, задаваемую уравнением:
Линия уровня при
С = -6
= (2;
3)
(1)
(2)
(3)
А
B
C
D
E
Линия уровня при
С = 5
В крайнем положении при С = 5 линия уровня проходит через точку С. Следовательно, имеется оптимальное решение. Решением являются координаты точки С, определить координаты которой можно, найдя точку пересечения прямой (1) и х2 = 3:
т.В (1; 3)
Максимальное значение целевой функции при этом равно:
.
Ответ: Максимальное значение целевой функции равно:
при
Х = (1; 3).