12. Предел последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

1) Число p называется пределом последовательности Xn при , если

2) p называется пределом последовательности

Последовательность является сходящейся, если она имеет конечный предел.

Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Пусть Xn – сходящаяся последовательность.

При n>N : A < Xn < B

a: min {x1, x2 … A }

b: max {x1,x2 .. Xn, B}

– последовательность является ограниченной по определению.

13. Связь между пределом функции и пределом последовательности. Доказательство отсутствия предела.

Теорема. Связь между пределом функции и пределом последовательности.

Для того, чтобы существовал предел функции при равный p необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности при любом выборе

Для доказательства отсутствия пределов часто применяются следствия к пределу сложной функции.

1 следствие. Если существует предел , то для такого, что , и = p, тогда = p

2 следствие. Если , то для любой последовательности при любом выборе .

Пример:

Допустим, докажем, что предел не существует.

Возьмем

= 0

А теперь возьмем

= 1

Для различных последовательностей при получаем разные => общего предела не существует.

14. Бесконечно-малые функции и их свойства.