1) Всегда существует действительное изображение s1, находящееся на расстоянии от неподвижной части линзы.

2) Удаляющаяся часть линзы всегда формирует действительное изображение s2, которое удаляется от точки s1, но приближается к заднему фокусу этой части линзы.

3) Как только удаляющаяся часть линзы окажется в интервале [S₁, S₁ + F] система формирует третье мнимое изображение источника (точка S₃). При удалении части линзы от точки S₁, т. е. к источнику S и дальше.

4) Когда перемещающаяся часть линзы окажется на расстоянии S₁ + F от первоначального положения, т. е. на расстоянии , изображение S₃ раздваивается (мнимое в слева и действительное в справа).

5) При небольшом удалении части линзы от точки S₁ + F остается только действительное изображение S₃, которое начинает приближаться к этой части линзы и к источнику S, но S₃ всегда остается правее точки S₂, т. е. отрезок S₂S₃ всегда уменьшается.

6) С некоторого положения перемещающейся части линзы изображение s3 приближаясь к ней, начнет удаляться от точки s (но всегда s2s3 уменьшается).

7) На очень большом расстоянии перемещающейся части линзы от первоначального положения точки S₂ и S₃ практически совпадут в заднем фокусе движущейся части линзы.

Областная олимпиада. 11 класс. 2003 г.

1. Из опыта известно, что, если замкнутую систему тел перенести из одного положения в пространстве в другое или повернуть ее в пространстве на любой угол, то такие операции не изменяют ход физических процессов в системе. Эти свойства называют однородностью и изотропностью пространства, соответственно.

Пусть – потенциальная энергия взаимодействия n – материальных точек. Доказать, что свойства однородности и изотропности пространства приводят к тому, что функция u должна зависеть от расстояний каких-либо (n – 1) точек и остальной точки, т. е.

.

Пусть – произвольный вектор смещения начала координат. Тогда однородность пространства требует выполнения равенства: . В частности, полагая , имеем . Очевидно, изотропность пространства требует равенства

2. Светящаяся оболочка взорвавшейся звезды начала расширятся в точке O со скоростью . Найти:

1) Место точек («видимую» оболочку), излучение от которой достигает наблюдателя, находящегося на достаточно большом удалении R от точки O в момент времени .

2) Скорость расширения «видимой» оболочки. 3) Максимальное значение скорости .

4) Максимальное значение составляющей скорости перпендикулярной к лучу зрения.

Скорость света c.

1) Пусть момент времени испускания света от точки A равно , тогда

.

2) , , при .

3) .

4) Условие максимума , .

3. Расчеты показывают, что напряженность электрического поля внутри равномерно заряженного шара радиуса R равно , где  – объемная плотность заряда, – радиус вектор точки наблюдения ( ), _о – электрическая постоянная. Используя эти результаты найти:

3.1. Напряженность электрического поля в полости, образованной пересечением двух шаров. Шары несут равномерно распределенные по объему заряды с плотностями  и –. Расстояние между центрами шаров a.

3.2. Распределение зарядов по поверхности сферы радиуса R, чтобы поле внутри нее было однородным и равным .

1) По принципу суперпозиции: .

Т аким образом, поле внутри полости – однородно-независимо от соотношения радиусов шаров и расстояния между центрами. В частности, поле – однородно внутри сферической полости, вырезанной внутри однородно заряженного шара.

2) Рассмотрим пересечение двух шаров радиуса R, равномерно заряженных по объему с плотностями  и –. Расстояние между центрами . Как показано в 1) поле внутри полости однородно и равно .

При этом объемный заряд отличен от нуля только в тонком поверхностном слое. Переходя к пределу при (считая, что ), мы приходим к представлению о поверхностном заряде на сфере. Очевидно, толщина заряженного слоя в точке, определяемой углом , равна . Тогда на единицу площади приходится заряд: .

4. Если электрон движется внутри сферы радиуса r с импульсом p, то имеет место соотношение неопределенностей Гейзенберга . Опираясь на соотношения неопределенностей Гейзенберга оценить «размеры» и энергию основного состояния атома водорода и гелия. Сравнить полученные оценки для энергий с экспериментом эВ, эВ.

Полная энергия атома водорода:

(1).

Минимизируя (1) по r, находим

м; эВ.

Полная энергия атома гелия

(2).

Минимизируя (2) по r, находим

м; эВ.

5. Два спутника A и B следуют друг за другом на расстоянии 45 км по общей круговой орбите вблизи Земли. Чтобы стыковаться, они должны сблизиться и продолжать движение по общей орбите. Какой простейшей последовательностью коротких включений двигателя отстающего спутника B можно осуществить этот маневр, если его двигатель может изменить его скорость на величину v, не превышающую 8 км/ч? Радиус Земли R = 6,3710⁶ м, ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².

Движение приземного спутника описывается уравнением:

или (1).

Из уравнения (1) можно получить ряд полезных соотношений:

Период обращения спутника ч (2).

Полная энергия спутника (3) (4).

(3-й закон Кеплера) (5).

Из уравнений (4) и (5) получаем: (6).

Для уменьшения периода T, необходимо увеличить |E| или уменьшить скорость на v < 0 (т. к. E < 0). Для малых изменений периода и скорости из (6) получаем:

(7).

При этом спутник перейдет на орбиту меньшего радиуса и через n оборотов опередит свое первоначальное положение на круговой орбите на расстояние

.

Увеличив затем его скорость v можно снова перевести его на исходную орбиту с относительной скоростью спутников равной нулю. Определим n и v при L = 45 км и T = 1,41 ч:

км/ч; при n = 1 км/ч, при n = 2 км/ч, таким образом .

Для стыковки необходимо уменьшить скорость отстающего спутника на 5,3 км/ч, а затем через два оборота вновь увеличить ее до прежнего уровня.