§2.2. График функции.
Пусть
-два
произвольных множества.
Определение.
Множество упорядоченных
пар
называется декартовым
произведением множеств
и
.
Если и -числовые множества, то их удобно изображать как точки на области.
Пусть задана функция
Определение.
Графиком функции
называется множество всех точек
плоскости, абсциссы которых являются
значениями независимой переменной, а
ординаты соответствующими значениями
функции, т.е
Лекция № 2.
§2.3.Обратная функция.
.
Пусть задана функция
,
где
– область определения,
– область значения.
Будем говорить, что функция
осуществляет отображение множества
в множество
.
Из определения функции следует, что
каждой точке множества
ставится она точка из множества
.
Если при этом каждой точке множества
соответствует единственная точка из
множества
,
то говорят, что отображение
взаимно-однозначное. При таком отображении
различным точкам множества
соответствуют различные точки множества
.
Определение. Функция
называется обратной функцией
,
если область определения функции
совпадает с областью значений функции
=
и каждому значению
из
она сопоставляет
,
такое что
,
где
(
:
,
).
Итак, по определению имеем, что
– для взаимнооднозначных функций. (
- обратная функция);
Пример:
1)
:
:
=
– многознач.
:
:
=
- однознач.
2)
:
:
=
;
:
:
=
.
.
График обратной функции.
={(
,
):
;
}
или, учитывая что (
),
а это означает
,
то получаем, что графиком обратной
функции является
={(
,
):
,
}=
.
Получаем, что графики прямой и обратной
функции совпадают, если аргумент обратной
функции обозначить через y.
График обратной функции с аргументом, названным , а значением – , получается из графика прямой функции поворотом на 180º относительно биссектрисы І и ІІІ координатных углов.
.
Обратимость функции.
Определение. Функция называется обратимой, если обратная функция (а она всегда существует) однозначна.
Геометрическим признаком однозначности прямой функции служит то, что прямые, перпендикулярные оси ОХ, пересекают график не более, чем в одной точке (т.е. строгая монотонность).
Если обратна к , то обратна к .
§2.4. Композиция функции.
Пусть имеем 2 функции
,
.
Обозначим новую функцию, которая
любому значению
будет сопоставлять значения
таким образом
(
- сопоставление по правилу
).
Такую функцию называют композицией
функции
Пример:
§2.5. Основные элементарные функции.
1. Постоянна y=const-C;
2. Степенная
функция
,
:
а) n=0, D=
\{0};
б) n
;
D=
;
в)
n=
>0;
г) n – иррац.; D=[0;+∞);
е) n – отрицательное;
=
\{0}.
Вид графиков функции y=
при различных целых значениях n
различен:
- при четных n функции четные;
- при нечетных n – нечетные.
Чем больше n по значению, тем ближе к оси абсцисс лежат соответствующие графики в интервале (0;1) и тем круче вверх они поднимаются при приближении к 1.
3. Показательная
функция y=
,
a≠1, a>0
D=
0<a<1 – убывающая функция;
a>1 – возрастающая функция;
при a=e y=
– экспонентная функция, е≈2,71828…
4. Логарифмическая функция.
y=
–
функция, обратная показательной
а>0, a≠1;
D=(0;+∞).
5. Тригонометрические функции.
а) y=sinx; D= ; E=[-1;1]; T=2π;
б) y=cosx; D= ; E=[-1;1]; T=2π;
в) y=tgx; D=(
+πn;
+πn);
T=π;
г) y=ctgx; D=(πn;π+πn); T=π.
6. Обратные тригонометрические функции.
а) y=arcsinx
Разобьем всю область определения функции y=sinx на интервалы монотонности:
[
;
];
[
;
];
[
;
].
В качестве основного выберем промежуток [ ; ] и обозначим обратную функцию y=arcsinx. Значение функции arcsinx – радианная мера угла, синус которого равен данному значению аргумента x. Из всех углов, удовлетворяющих условию, выбирается угол, заключенный в промежуток [ ; ].
y=arcsinx – однозначная функция.
Образуя в каждом из интервалов монотонности соответствующую обратную функцию, получим бесконечно много однозначных ветвей. Всю совокупность этих ветвей обозначают y=Arcsinx – бесконечнозначная функция.
б) y=arccosx; x€[-1;1];
y€[0;π];
в) y=arctgx; x€(-∞;+∞);
y€[ ; ];
г) y=arcctgx; x€(-∞;+∞);
y€[0;π]
