- •1 Метод Гаусса (lu-разложений).
- •2 Нахождения определителя матрицы методом Гаусса.
- •3 Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4 Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •29 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •30 Формула трапеций.
- •Оценим остаточный член:
- •31 Формула Симпсона ( параболы).
- •32 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •33 Квадратурные формулы наивысшей степени точности.
- •Свойства.
- •34 Интегрирование быстроосциллирующих функций.
- •Существование и единственность задачи Коши дается в теореме Пикара.
- •36 Метод Пикара.
- •37 Метод Эйлера.
- •Т.Е. Хоть и не сказано о том, что выполняется условие Липшица, но зато ограничено, и мы можем оценить | |l.
- •48 Метод правой прогонки.
- •49. Метод левой прогонки.
- •51 Метод Либмана.
- •Рассмотрим уравнение эллиптического типа – уравнение Пуассона:
- •53 Метод сеток для решения уравнений параболического типа.
- •8. Итерационные методы решение систем линейно-алгебраических уравнений.
- •Пусть дана слау
- •9. Метод простых итераций для решения линейно-алгебраических уравнений.
- •Нормы векторов и матрицы.
- •11. Метод Зейделя. Условия сходимости метода
- •1.Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Метод Гаусса решения слау.
- •Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Методика решения.
- •2. Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Нахождения определителя матрицы методом Гаусса. Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Нахождения определителя матрицы методом Гаусса
- •3.Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4. Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •14. Проблема собственных значений. Метод Данилевского.
- •Метод а.М. Данилевского
- •Теорема: Преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.
- •15. Проблема собственных значений. Степенной метод .
- •Степенной метод.
- •Обозначим соответствующие собственные векторы через
- •Степенной метод имеет задачу нахождения пары:
- •17. Скалярное нелинейное уравнение.Метод половинного деления (дихотомии).
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •Метод половинного деления
- •12.Метод вращения решения слау
- •18.Скалярное нелинейное уравнение. Метод хорд.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •18. Скалярное нелинейное уравнение. Метод касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •20.Скалярное нелинейное уравнение. Комбинированный метод хорд и касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •21. Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •22. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.
- •Если обозначить
- •23. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.
- •24. Метод скорейшего спуска решения система линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
32 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Рассмотрим интервал на котором построена равномерная сетка узлов и известны значения функции в этих узлах:
Тогда где
Так как система узлов равномерна, то
Следовательно
Отсюда получим
Коэффициенты называются квадратурными коэффициентами Ньютона-Котеса.
Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
Коэффициенты Ньютона-Котеса для узлов равноудаленных от концов отрезка, равны:
Сумма всех коэффициентов Ньютона-Котеса на равна 1:
Доказательство: Возьмем в формуле (1) . Тогда ч.т.д.
При и среди коэффициентов Ньютона-Котеса существуют отрицательные коэффициенты. Как правило, квадратичные формулы строятся с малым числом n т.к. большее число и ведет к росту погрешности.
33 Квадратурные формулы наивысшей степени точности.
Их так же называют формулами Гаусса. Мы заменяем интеграл квадратурной формулой: Интерполирование функции , причем когда - множество многочленов степени не выше .Степенью точности квадратурной формулы называется такая степень многочлена, при подстановке которого вместо функции в интеграл получится точное равенство в квадратурной формуле или остаточный член равен нулю. Таким образом, степень точности квадратурной формулы равна на узле.
Замечание. Без ограничения общности рассуждений будем считать, что узлы нумеруются от 1 до n.
Тогда имеем для квадратурных формул узлов и - степень точности.
Пусть необходимо найти . Как правило, сложно построенные функции или функции, имеющие особенности на , стремятся представить в виде произведения:
где - достаточно гладкая функция, - весовая функция, которая вбирает в себя особенности функции . Тогда заменим
Оказывается, равномерный способ распределения узлов интегрирования для повышения степени точности не является удовлетворительным, т.е. путем выбора (специального) узлов интегрирования можно повысить степень точности.
Th: Для того чтобы квадратурная формула имела наивысшую степень точности , где - число узлов интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы:
квадратурная формула была формулой интерполяционного типа, т.е.
2.многочлен был ортогонален с весом на отрезке любому многочлену степени не выше, чем , т.е. , где - многочлен степени не выше .
Доказательство:
Необходимость.
Первое свойство, очевидно, выполняется из выкладок. Пусть квадратурная формула точна, докажем выполнение второго свойства: Пусть степень многочлена - , а - , тогда степень многочлена будет , так как .
Достаточность. Пусть имеется свойство ортогональности. Докажем, что квадратурная формула будет точной.
Возьмем функцию - многочлен степени не выше чем . Тогда ,
где , - многочлены степени меньше .Тогда ч.т.д. Рассмотрим второе условие – условие ортогональности: . Пусть многочлен имеет степень , так как равенство выполняется для многочлена степени , то оно должно выполнятся для элементарных многочленов , т.е. (*)
Это есть система нелинейных уравнений относительно неизвестных значений узлов многочлена , которых штук. Для однозначной разрешимости необходимо чтобы число уравнений было равно числу неизвестных, т.е. , следовательно . С учетом степени самого члена мы имеем, что степень - .
Для точности рассуждений требуется показать существование и единственность такого многочлена , что его корни все различны, действительны и лежат внутри отрезка .
Докажем это.
Потребуем, чтобы функция была знакопостоянной, т.е. .
Выпишем СЛАУ (*):
Т.к. , то
это система неоднородных линейных уравнений относительно . Она имеет единственное решение, когда однородная система
, т.е.
имеет только тривиальное решение. Покажем это. Для этого умножим каждое уравнение системы на соответствующий коэффициент и просуммируем по .
Т.к. и , то для любого , .
Следовательно, мы доказали, что однородное СЛАУ имеет только тривиальное решение. Это означает, что неоднородное система имеет единственное решение, т.е. многочлен ортогонален с весом любому многочлену степени меньше существует и единственен.
Покажем, что его корни лежат внутри и их ровно штук.
Пусть многочлен имеет действительных корней лежащих на , нечетной кратности:
соответственно их кратности:
Так как степень равна , то .
Тогда , где - многочлен степени меньше , знакопостоянной на . Найдем
Допустим противное, т.е. что . Тогда из последнего выражения получим следующее:
,
,
так как ортогонален с весом любому многочлену степени меньше .
Но с другой стороны интеграл отличен от нуля, поэтому наше предположение неверно. Значит