5. Оценка случайной погрешности.

Случайную погрешность величины X можно оценить, только проведя многократное измерение X – не менее четырёх. Это означает, что процедуру измерения X надо проделать не менее четырёх раз, причём обязательно в одних и тех же условиях. Если бы никакие случайные факторы не влияли на результаты измерений, то, сколько бы раз не повторялась процедура измерения X, все результаты были бы совершенно идентичными. Наличие случайных факторов приводит к тому, что серия из n измерений даёт n разных значений величины X: (x_, x_, ..., x_n)¹. То, насколько велик разброс в этих n числах, и определяет случайную погрешность. Формула, по которой оценивают случайную погрешность _с(x), имеет вид:

. (1.7)

Здесь величина t называется коэффициентом Стьюдента. Как его определить, рассмотрено в пункте 1.6. Величина (x) называется среднеквадратичным (или стандартным) отклонением и определяется выражением

, (1.8)

где – средний результат измерения, то есть среднее арифметическое из n чисел x_, x_, ..., x_n:

. . (1.9)

В пункте 1.6 отмечается, что с ростом объёма серии n коэффициент Стьюдента уменьшается. Поэтому из формулы (1.7) вытекает: чем больше объём серии, тем меньше случайная погрешность. Обычно объём серии выбирают так, чтобы случайная погрешность была в три-пять раз меньше приборной погрешности.

6. Доверительная вероятность и коэффициент Стьюдента

Будем в этом пункте считать, что приборная погрешность равна нулю. Тогда 2_c – это ширина доверительного интервала. В пункте 1.1 предполагалось, что в центре доверительного интервала находится истинное значение x измеряемой величины X. Истинное значение, однако, неизвестно, поэтому передвинем доверительный интервал так, чтобы в центре его находилось среднее значение результатов измерения .

Вероятность того, что истинное значение x измеряемой величины X принадлежит доверительному интервалу шириной 2_с с центром в точке , называется доверительной вероятностью или надёжностью измерений.

Ясно, что чем шире доверительный интервал 2_с, тем больше и доверительная вероятность p. Верно и обратное: чем больше требование к надёжности измерений p, тем больше и значение случайной погрешности _с. Связь между p и _с определяется формулой (1.7), в которой коэффициент Стьюдента t зависит от доверительной вероятности p. Кроме того, на коэффициент Стьюдента влияет и объём серии n: чем больше n, тем меньше t. Конкретные значения t при различных p и n приведены таблице 6.1. В учебном лабораторном практикуме рекомендуется выбирать значение доверительной вероятности p = 0,9.

Таблица 1.1. Коэффициенты Стьюдента

Объём серии n	Доверительная вероятность p
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
4	0,77	0,98	1,2	1,6	2,4	3,2	4,5	5,8
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6
6	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	4,0
7	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	3,7
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	3,5
9	0,71	0,89	1,1	1,4	1,8	2,3	2,9	3,4
10	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	3,3
15	0,69	0,87	1,1	1,3	1,8	2,1	2,6	3,0
20	0,69	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1	2,5	2,9

Пример. Требуется измерить сопротивление резистора R с надёжностью p = 0,9. Для этого подготовлена таблица 1.2, а затем проделана серия из 10 измерений, полученные данные (частные результаты) записаны во втором столбце таблицы. Внизу столбца записано среднее значение , которое и будет считаться конечным результатом измерения сопротивления.

Таблица 1.2. Расчёт случайной погрешности

Номер измерения	R
	кОм	кОм	кОм^2
1	38	-2,1	4,4	p = 0,9
2	44	3,9	15,2	t = 1,8
3	41	0,9	0,8
4	39	-1,1	1,2
5	37	-3,1	9,6
6	40	-0,1	0,0
7	43	2,9	8,4
8	36	-4,1	16,8
9	42	1,9	3,6
10	41	0,9	0,8

В третьем столбце таблицы приведены отклонения R каждого частного результата измерений от конечного результата. Внизу столбца записано среднее значение . То, что оно оказалось равным нулю, говорит о правильности вычислений значений R и .

В четвёртом столбце приведены квадраты отклонений , которые нужны для вычисления по формуле (1.8) стандартного отклонения. Внизу столбца записано стандартное отклонение.

В пятом столбце указаны доверительная вероятность, коэффициент Стьюдента, взятый из таблицы 1.1, и случайная погрешность, рассчитанная по формуле (1.7).

Итог: .