4. Оценка приборной погрешности

В пункте 1.2 отмечалось, что плотность изделия в данной лабораторной работе измеряется косвенным способом, в основе которого лежат измерения массы и объёма изделия и формула (1.4). Следовательно, приборная погрешность плотности _п() зависит от приборных погрешностей массы _п(m) и объёма _п(V). Универсальная формула, связывающая _п() с _п(m) и _п(V), имеет вид:

. (1.9)

Здесь и далее значок «п» для краткости опущен, а _m() и _V() – это частные погрешности плотности, которые определяются формулами

. (1.10)

Можно обойтись и без вычисления производных, если воспользоваться правилом, указанным в [5.3]: если физическая величина x связана с двумя другими величинами a и b формулами или , то относительная погрешность (x) равна сумме относительных погрешностей (a) и (b). Относительной погрешностью величины x называется отношение абсолютной погрешности (x) к результату измерения:

. (1.11)

Итак, указанное правило даёт следующую процедуру оценки относительной и абсолютной приборных погрешностей плотности:

1. . (1.12)

2. . (1.13)

3. . (1.14)

Масса изделия измеряется прямым способом – с помощью весов, поэтому приборная погрешность массы (m) определяется классом точности весов.

Объём изделия V измеряется косвенно: сначала с помощью штангенциркуля измеряются размеры изделия, а затем по формуле объёма определяется значение V. Формула объёма для каждого изделия своя, и от этой формулы зависит правило оценки приборной погрешности (V). Рассмотрим п ример: изделие – это шайба, показанная на рисунке 1.1.

Объём шайбы – это разность объёмов двух цилиндров. Первый цилиндр имеет высоту H и диаметр D, второй (отверстие) имеет ту же высоту H, но меньший диаметр d. Поэтому формула объёма следующая:

. (1.15)

Для оценки приборной погрешности объёма (V) целесообразно использовать общую формулу:

. (1.16)

Здесь – частные погрешности, равные

, (1.17)

, (1.18)

. (1.19)

Приборные погрешности размеров изделия (Н), (D) и (d) – это погрешности прямых измерений. Все эти измерения делаются одним и тем же прибором – штангенциркулем. На нём указан класс точности 0,1 mm. Это означает, что абсолютная приборная погрешность любого измерения, сделанного этим штангенциркулем, равна 0,1 мм. Таким образом, .

2. Порядок выполнения работы

   1. Получите у лаборанта изделие и штангенциркуль.

   2. Сделайте чертёж изделия и проставьте на нём размеры – буквами, не числами. Пример показан на рисунке 1.1.

   3. Выведите формулу объёма изделия и запишите её в свою рабочую тетрадь.

   4. Взвесьте изделие и запишите результат измерения в таблицу 1.1.

   5. Измерьте штангенциркулем все размеры изделия, результаты запишите в таблицу 2.1. Обратите внимание: таблица 2.1 составлена для изделия, показанного на рисунке 1.1. Для вашего изделия таблицу, возможно, придётся изменить.

   6. Проделайте пункт 2.5 ещё 4 раза.

   7. Вычислите для каждого из пяти замеров значения объёма и плотности, используя формулу объёма и формулу (1.4). Результаты запишите в таблицу 2.1.

Таблица 2.1. Измерения плотности изделия

№	H	D	d	Объём изделия V	Масса изделия m	Плотность изделия 
	мм	мм	мм	см^3	г	кг/м^3
1
2
3
4
5

8. Рассчитайте стандартное отклонение (). Для этого воспользуйтесь таблицей 2.2.

Таблица 2.2. Расчёт стандартного отклонения плотности

№				()
	кг/м^3	кг/м^3	(кг/м^3)^2	кг/м^3
1
2
3
4
5
Средние

• Во второй столбец таблицы надо переписать пять значений плотности изделия из последнего столбца таблицы 2.1.

• Вычислить по формуле (1.8) среднее арифметическое значение плотности и записать внизу столбца (в строке «Средние»). Обратите внимание: именно это число и является окончательным результатом измерения плотности изделия. Пять значений , взятые из таблицы 2.1, – это частные результаты.

• Записать в третьем столбце отклонения  каждого из значений плотности от среднего значения . Одни из отклонений получатся положительными, другие – отрицательными.

• Вычислить среднее арифметическое значение отклонений и записать внизу столбца (в строке «Средние»). Должно получиться число, которое много меньше, чем (может быть, даже нуль). Это будет признаком правильности вычислений.

• Записать в четвёртом столбце квадраты отклонений , возводя в квадрат каждое из чисел  предыдущего столбца.

• По формуле (1.7) определить дисперсию D(). Обратите внимание: дисперсия вычисляется почти так же, как и среднее арифметическое: надо сложить все числа , а потом поделить – но не на количество чисел n, а на (n – 1). В данном случае надо делить на 4. Полученное значение дисперсии записать внизу четвёртого столбца (в строке «Средние»).

• По формуле (1.7) определить стандартное отклонение (). Это значит просто извлечь квадратный корень из дисперсии. Результат записать в последнем (пятом) столбце.

1. Оцените случайную погрешность измерения плотности _с(). Для этого воспользуйтесь таблицей 2.3.

• Перенесите из таблицы 2.2 значение стандартного отклонения ().

• Выберите значение доверительной вероятности p. Рекомендуемое значение: p = 0,9.

• По таблице 1.1. определите значение коэффициента Стъюдента.

• По формуле (1.6) определите _с().

Таблица 2.3. Оценка случайной погрешности плотности

Название	Обозначение и размерность	Значение
Стандартное отклонение	(), кг/м^3
Доверительная вероятность	p
Коэффициент Стъюдента	t
Случайная погрешность	с(), кг/м^3

10. Оцените приборную погрешность объёма (V).

• Сначала выведите формулы для расчёта частных погрешностей, исходя из выведенной вами формулы объёма. Пример приведён в пункте 1.4.

• Заполните таблицу 2.4.

Обратите внимание: эта таблица зависит от формы изделия. Приведённая в данном пособии таблица составлена для изделия, чертёж которого показан на рисунке 1.1.

Значения размеров изделия в третьем столбце таблицы возьмите из таблицы 2.1. Можно взять результаты любого из пяти опытов, но лучше выбрать тот опыт, в котором значение плотности  оказалось ближе всего к среднему значению .

Таблица 2.4. Оценка приборной погрешности измерения объёма изделия

Размеры изделия		Приборная погрешность	Частная и полная погрешности
Обозначение и размерность	Значение		Формула	Значение
H, см		0,1 мм
D, см		0,1 мм
d, см		0,1 мм
V, см^3

11. Оцените приборную погрешность плотности изделия (), применяя формулы (1.12) – (1.13). Для этого удобно воспользоваться таблицей 2.5.

Таблица 2.5. Оценка приборной погрешности измерения плотности изделия

Параметр изделия		Относительная приборная погрешность 	Абсолютная приборная погрешность 
Обозначение и размерность	Значение
m, г
V, см^3
, кг/м^3

• Сначала заполните второй столбец таблицы. Значения возьмите из таблицы 2.1. Можно взять результаты любого из пяти опытов, но лучше выбрать тот опыт, в котором значение плотности  оказалось ближе всего к среднему значению .

• Абсолютную приборную погрешность объёма (V) возьмите из таблицы 2.4.

• Абсолютная приборная погрешность массы (V) – это погрешность прямого измерения, которая определяется классом точности прибора (в данном случае – весов). Класс точности весов …, применяемых в учебной лаборатории, равен …

• По формулам (1.12) и (1.13) оцените относительные погрешности.

• По формуле (1.14) оцените абсолютную приборную погрешность плотности _п().

12. Оцените полную абсолютную погрешность измерения плотности (), сложив случайную и приборную погрешности _с() и _п() – см. формулу (1.5).

13. Оцените относительную погрешность измерения плотности ().

14. Запишите результат измерения плотности изделия в виде:

.

15. Сформулируйте выводы.

Как отмечалось выше, данная лабораторная работа относится к классу измерительных работ. В этом случае в выводах надо, во-первых, сравнить результат измерения с информацией, которую можно найти в справочниках, во-вторых, дать оценку использованному в работе методу измерений.

По величине относительной погрешности δ методы измерений делятся на следующие классы:

• грубый метод, если δ > 10%,

• метод средней точности, если 1% < δ < 10%,

• метод высокой точности, если δ < 1%.

В-третьих, надо сравнить приборную и случайную погрешности. Дело в том, что случайную погрешность _с можно уменьшить, увеличив объём серии измерений n. Однако если , то увеличивать объём серии с целью уменьшения нецелесообразно, так как на полную погрешность это не повлияет. Считается, что объём серии n оптимален, если выполнено условие . Таким образом, сравнение приборной и случайной погрешностей нужно для того, чтобы сделать заключение о выбранном объёме серии измерений n.