Вопрос 18

Основные задачи в пространстве: расстояние, взаимное расположение двух прямых. 1. Расстояние от точки M₀ (x₀,y₀,z₀) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√A²+B²+C². Расстояние между параллельными плоскостями и расстояние между параллельной прямой и плоскостью сводится к этой задаче: берется произвольная точка на плоскости (прямой) и находится расстояние до другой плоскости. 2. Расстояние от точки до прямой M₀ (x₀,y₀,z₀) и x-x₁/p₁=y-y₁/p₂=z-z₁/p₃, p (p₁,p₂,p₃), r =M₁M₀=(x₀-x₁;y₀-y₁;z₀-z₁), d=|rxp|/|p| - модуль векторного произведения. 3 Взаимное расположение двух прямых в пространстве x-x₁/p₁=y-y₁/p₂=z-z₁/p₃ и x-x₁/q₁=y-y₁/q₂=z-z₁/q₃ а) прямые совпадают x₂-x₁/p₁=y₂-y₁/p₂=z₂-z₁/p₃ б) p₁/q₁=p₂ /q₂=p₃/q₃ в) прямые пересекаются x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁

= p₁ p₂ p₃ = 0, но p не параллельно q

Г) скрещивающиеся прямые ≠0. 4. Расстояние между скрещивающимися прямыми d=|(M₁M₂, p₁q₁)|/|pxq|, где числитель – модуль смешанного произведения, а знаменатель – модуль векторного произведения.

Вопрос 19

Поверхности второго порядка. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) – называется поверхность, полеченная с помощью движения прямой, параллельной некоторому данному вектору и пересекающий данную кривую (направляющую). Прямая, которая движется, называется образующей цилиндра. Конической поверхностью (конусом) – называется поверхность, образованная движением прямой, проходящей через одну данную точку (вершина конуса) и пересекающая данную кривую (направляющую). Прямая, которая движется, называется образующей конуса. Вращением фигуры вокруг некоторой прямой (ось вращения) называется такое движение этой фигуры, когда каждая точка фигуры описывает окружность с центром на оси вращения в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Тело вращения – тело в пространстве, как получается с помощью вращения некоторой фигуры. Общее уравнение поверхности второго порядка: a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz+2a₀₁x+2a₀₂y+2a₀₃z+a₀₀00, где x,y,z – переменная, aij – коэффициент. Каноническое уравнение – если поверхность симметрична относительно осей и начала координат. Канонические уравнения некоторых поверхностей второго порядка: 1. Эллипсоид x²/a²+y²/b²+z²/c²=1; 2. Однополостный гиперболоид x²/a²+y²/b²-z²/c²=1; 3. Двуполостный гиперболоид x²/a²+y²/b²-z²/c²= -1; 4. Конус x²/a²+y²/b²-z²/c²=0; 5. Эллипсический параболоид x²/p+y²/q=2z; 6. Гиперболический параболоид x²/p-y²/q=2z; 7. Эллипический цилиндр x²/a²+y²/b²=1; 8. Гиперболический цилиндр x²/a²-y²/b²=1; 9. Параболический цилиндр y²=2px.

Вопрос 20

Задачи линейного программирования – часть задач математического моделирования, т.е. необходимость строить математические модели экономики, биологии, физики и т.д. Задачи математических моделей подразумевают использование математических объектов: переменные, уравнения и неравенства, их системы, функции. В рамках линейных программ рассматриваются только линейные уравнения и неравенства и линейные функции. В настоящее время требуется и математическое моделирование – возможность реализовать задачи на ЭВМ. Основные экономические задачи, решаемые с помощью ЛП: 1. Задачи об оптимальном использовании ресурсов; 2. Об оптимальном плане перевозок. Существуют глобальные экономические задачи, которые далеки от решения по их теоретическим математическим решениям линейного моделирования. Экономическая модель. Для построения экономической модели задачи необходимы следующие допущения: пусть некоторая организация решает задачу о составлении плана производства, обеспечивающие выполнение некоторых производственных программ в течение некоторого времени. Организации известны: количество ресурсов, которое она может использовать в течение этого промежутка времени и количество готовой продукции, которое она должна выпустить. Причем предусмотрен минимум выполнения готовой продукции по каждому виду, который либо допускает перевыполнение, либо – нет. Для выполнения плана производства организация использует некоторые технологии. Под технологиями будем понимать количественный перечень затрачиваемых ресурсов и выпускаемой продукции. Для отражения зависимости затрат ресурсов и готовой продукции применяется предпосылка линейности: для каждой технологии затраты ресурсов и выход готовой продукции пропорциональны интенсивности использования этой технологии. Организации известны цены за единицу готовой продукции по каждому виду. Руководствуясь этими ценами, организация заинтересована в таком сочетании расходов ресурса и выпуска готовой продукции, чтобы обеспечить максимальную прибыль. Это невозможно без некоторого расчета, т.е. организация имеет выбор в применении технологии с такой интенсивностью, чтобы получить максимальную прибыль. Планом производства называется перечень технологии с указанием интенсивности их применения. Допустимый (возможный) план – такой план, обеспечивающий выполнение задания по производству готовой продукции и не нарушает лимитов на использование ресурсов. Критерии выбора плана – цель, которой подчинено производство. Две основные цели: 1. Максимальная прибыль; 2. Минимальное использование ресурсов. Оптимальный план производства – допустимый план, наилучший по выбранному критерию.