Інтегральне числення функцій однієї змінної
Задача 10. Знайти невизначені інтеграли.
,
;
;
.
Розв’язання
1). Виконаємо тотожні перетворення підінтегральної функції, які дають можливість скористатися таблицею інтегралів:
.
2).Застосуємо
до другого інтегралу метод інтегрування
частинами. Якщо підінтегральний вираз
є добутком тригонометричної або
показникової функції на многочлен, то
за
слід брати многочлен. За формулою
інтегрування частинами маємо
3).
Застосуємо до третього інтегралу метод
внесення відповідної функції під знак
диференціала. Оскільки
,
маємо
4).
Підінтегральна функція четвертого
інтегралу є неправильним дробом. Виділимо
цілу частину дробу, враховуючи, що
.
Для цього розділимо многочлен на
многочлен:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Інтеграл матиме вигляд
.
Розкладемо дріб на елементарні дроби:
.
Прирівнюємо чисельники в обох частинах рівняння:
.
Прирівнюючи
коефіцієнти при однакових степенях
в останньому рівнянні, одержимо систему
лінійних рівнянь для визначення невідомих
:
.
Отже,
.
Задача 11 . Знайти визначені інтеграли.
;
;
.
Розв’язання
1).
Застосуємо метод заміни змінної. Щоб
звільнитись від ірраціональності у
знаменнику, покладемо
,
тоді
.
Отже,
2). Для обчислення другого інтегралу використаємо універсальну тригонометрич-ну підстановку
.
Маємо
3).
Для обчислення третього інтегралу
застосуємо метод заміни змінної. Щоб
звільнитись від ірраціональності у
знаменнику, покладемо
,
тоді
.
Отже,
.
Задача 12. Обчислити інтеграл від заданої функції на заданому відрізку.
.
Розв’язання
Графіком функції є ламана, яку легко побудувати по точках.
За властивостями визначеного інтеграла маємо:
.
Задача 13. Обчислити невласні інтеграли або встановити їхню розбіжність.
;
.
Розв’язання
1). Обчислимо перший інтеграл за означенням невласного інтеграла 1-го роду:
Отже, невласний інтеграл збіжний.
2). Обчислимо другий інтеграл за означенням невласного інтеграла 2-го роду:
Границя нескінченна, отже, невласний інтеграл розбіжний.
Задача 14.Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої заданими кривими
,
;
.
Розв’язання
1). Маємо дві параболи. Обчислимо координати точок їх перетину:
Побудуємо задану фігуру на малюнку.
Площу даної фігури обчислимо за формулою
(кв.
од.)
2). Маємо кардіоїду.
Крива симетрична відносно полярної осі, тому площу верхньої половини слід
подвоїти. Отже
(кв.од.).
Задача
15. Обчислити
довжину дуги кривої
від точки
до точки
;
Розв’язання
1).
Спочатку знайдемо першу похідну
.
Отже
(лін.од.).
2). Крива задана параметричним рівнянням. Спочатку знайдемо
.
Довжину дуги кривої обчислимо за формулою
(лін.
од.).
Задача
16.
Обчислити
об’єм тіла, утвореного обертанням
фігури, обмеженої заданими кривими
і
,
навколо осі Ox
та
навколо
осі Oy.
Розв’язання
Криві і перетинаються в точках (0; 0) і (1; 1). Виконаємо креслення:
Шуканий об’єм тіла обертання навколо осі Ox дорівнює різниці об’ємів, утворених обертанням криволінійних трапецій, обмежених зверху, відповідно, параболами і :
(куб.од.)
Об’єм
тіла обертання навколо осі Oy
дорівнює різниці об’ємів, утворених
обертанням криволінійних трапецій,
обмежених зверху, відповідно, параболами
і
:
(куб.од.)