- •Вопросы для самопроверки по дисциплине «Математика (Модуль 1)»
- •Чётность
- •Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
- •Общее уравнение прямой и его исследование
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •Свойства бесконечно малых
- •15.Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.
- •16. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.
- •17. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.
- •18. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему).
- •19. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
- •20. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции.
- •21. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
- •26. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.
- •29. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.
- •30. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать).
- •31. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
- •32. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
- •33. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
- •34. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.
- •34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).
- •35. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
29. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.
Понятие дифференциала и его геометрический смысл
Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при . Отсюда:
. ( 7.1)
Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:
1) - линейного относительно , т.к. ;
2) - нелинейного относительно , т.к. .
Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
. ( 7.2)
Пример. Найти приращение функции при и :
Решение. ,
Пример. Найти дифференциал функции .
Решение. По формуле (7.2.) имеем .
Определение. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
( 7.3)
Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:
( 7.4)
Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .
|
Геометрический смысл. На графике функции (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументу приращение , тогда функция получает приращение . В точке проведем касательную, образующую угол с осью . Из треугольника : . Из имеем: . Таким образом, и соответствует формуле (7.1). |
Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
-
1)
4)
2)
5)
3)
Инвариантность формы дифференциала
Если , то из (7.4) имеем .
Рассмотрим сложную функцию , где .
Если функции и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна .
Умножим обе части равенства на : . Таким образом, .
Это равенство означает, что формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной . Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала.
30. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать).
Понятие первообразной и неопределенный интеграл
Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .
Пример. является первообразной для , т.к. .
Можно заметить, что если для функции существует первообразная , то она не является единственной. Возвращаясь к примеру, видно, что и функции , и вообще ( - некоторое число) являются первообразными для функции . Таким образом можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. Если и - первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство:
.
Из данной теоремы следует, что, если - первообразная для функции , то выражение вида , где - произвольное число, задает все возможные первообразные для .
Определение. Совокупность всех первообразных функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.
Таким образом:
,
где - некоторая первообразная для , произвольная постоянная.
Определение. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции.
Свойства неопределенного интеграла
1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .
□ Доказательство. Дифференцируя левую и правую части равенства , получаем: .■
2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .
□ Доказательство. По определению дифференциала и свойству 1 имеем: ■
3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .
□ Доказательство. Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать: и на основании дифференциал неопределенного интеграла , откуда .■
4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где - некоторое число.
5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .
Некоторые табличные интегралы
,
|
|
|
|
,
|
|
|
, |
|
|
|
|
Пример. Найти .
Решение.
Пример. Найти .
Решение. = .