2) Мультифракталы
Фракталы неизмеримо расширили наши возможности описания природы. Абстрактные конструкции Кантора, Коха, Больцано снабдили нас моделями реальности гораздо более реалистичными, чем Евклидова геометрия. Однако в физике, химии, геологии (и в некоторых других науках) мы сталкиваемся со многими явлениями, требующими расширения понятия фрактала на более сложные структуры. Для полной характеристики этих неоднородных объектов требуется уже не одна, в отличие от регулярных фракталов, а целый спектр фрактальных размерностей, число которых в общем случае бесконечно.
Причина этого заключается в том, что наряду с чисто геометрическими характеристиками, определяемыми размерностью Хаусдорфа, такие фракталы обладают некоторыми статистическими свойствами.
Многие странные аттракторы нелинейных динамических систем также обладают ярко выраженной мультифрактальной структурой.
Проще всего пояснить, что подразумевается под "неоднородным фракталом" на примере треугольника Серпинского, полученного с помощью метода случайных итераций. Известно, что система итерируемых функций для этого фрактала состоит из трех равновероятных линейных преобразований (вероятность=1/3). Перераспределим вероятности следующим образом: на одно преобразование пусть приходится 90%, на остальные два по 5%. Таким образом, получится треугольник Серпинского, точки которого распределены крайне неравномерно. Большая часть собрана у одной вершины и ее прообразов. В то время как у других вершин (и их прообразов) их крайне мало. Тем не менее, фрактальная размерность этого объекта равна фрактальной размерности классического треугольника Серпинского (т.е. с равновероятными преобразованиями) и равна D=ln3/ln2. Такое совпадение и заставляет нас заняться поиском новых характеристик, которые отличали бы неравномерное распределение точек от равномерного.
3) Стохастические фракталы
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
т раектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, заключающиеся в получении изображения случайного фрактала.
4) Системы итерируемых функций (ifs - Iterated Function Systems)
Эта группа фракталов получила широкое распространение благодаря работам Майкла Барнсли из технологического института штата Джорджия. Он пытался кодировать изображения с помощью фракталов. Запатентовав несколько идей по кодированию изображений с помощью фракталов, он основал фирму "Iterated Systems", которая через некоторое время выпустила первый продукт "Images Incorporated", в котором можно было изображения переводить из растровой формы во фрактальную FIF. Это позволяло добиться высоких степеней сжатия. При низких степенях сжатия качество рисунков уступало качеству формата JPEG, но при высоких картинки получались более качественными. В любом случае этот формат не прижился, но работы по его усовершенствованию ведутся до сих пор. Ведь этот формат не зависит от разрешения изображения. Так как изображение закодировано с помощью формул, то его можно увеличить до любых размеров и при этом будут появляться новые детали, а не просто увеличится размер пикселей. Хуже это или лучше - решать надо в каждом отдельном случае.
Если в L-systems (алгебраических фракталах) речь шла о замене прямой линии неким полигоном, то в IFS мы в ходе каждой итерации заменяем некий полигон (квадрат, треугольник, круг) на набор полигонов, каждый их которых подвергнут аффинным преобразованиям. При аффинных преобразованиях исходное изображение меняет масштаб, параллельно переносится вдоль каждой из осей и вращается на некоторый угол.
В результате можно получить потрясающие коэффициенты сжатия. Например рисунок папоротника кодируется с помощью 28!!! цифр и один и тот же рисунок получается в не зависимости от того что взяли за основу - прямоугольник, круг, треугольник или что-либо еще. Но к сожалению процесс создания набора коэффициентов для произвольного изображения очень трудоемок и занимает очень много времени.