3. Источники и классификация погрешностей
При замене задачи (1) на задачу (2) получаемое решение отличается от истинного решения задачи (1), т.е. несет в себе некоторую погрешность.
Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:
1) математичское описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные описания;
2) применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;
3) при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций, при выводе данных производятся округления.
Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:
1) неустранимой погрешностью;
2) погрешностью метода;
3) вычислительной погрешностью.
П
ример.
Пусть имеется математический маятник
(рис.3), который начинает свое движение
в момент времени
.
Требуется определить угол отклонения
от вертикали в момент
.
Дифференциальное уравнение, описывающее колебание маятника, берется в виде:
,
(3)
где
- длина маятника,
-
ускорение свободного падения,
-
коэффициент трения.
Как
только принимается такое описание
задачи, решение уже приобретает
неустранимую погрешность, в частности,
потому, что реальное трение зависит от
скорости не совсем линейно; другой
источник неустранимой погрешности
состоит в погрешностях определения
,
,
,
,
,
.
Название погрешности – «неустранимая»
соответствует ее существу: она
неконтролируема в процессе численного
решения задачи и может уменьшится только
за счет более точного описания физической
задачи и более точного определения
входных параметров. Дифференциальное
уравнение (3) не решается в явном виде,
для его решения требуется применить
какой-нибудь численный метод. Вследствие
этой причины возникает погрешность
метода. Вычислительная погрешность
возникает из-за конечности количества
разрядов чисел, участвующих в вычислениях.
Введем
формальные определения. Пусть
-
точное значение отыскиваемого параметра
(в данном случае – реальный угол
отклонения маятника
в момент времени
),
-
значение этого параметра, соответствующее
принятому математическому описанию
(математической модели) (в данном случае
– значение
точного решения уравнения (3)),
-
решение полученной математической
задачи (в данном случае – уравнения
(3)), получаемое при реализации численного
метода в предположении отсутствия
округлений,
-
приближение к решению задачи, получаемое
при реальных вычислениях. Тогда
-
неустранимая погрешность,
-
погрешность метода,
-
вычислительная погрешность,
-
полная погрешность.
Полная погрешность удовлетворяет равенству
.
Возможно
полагать
,
,
.
В таких обозначениях
.
4. Абсолютная и относительная погрешности
Пусть
-
точное значение некоторой скалярной
величины, а
- известное приближение к нему. Тогда
абсолютной
погрешностью
приближенного значения
называется
,
а относительной
-
.
Однако чаще всего точное значение
неизвестно, поэтому далее под абсолютной
(относительной) погрешностью будем
понимать некоторую величину
(
),
про которую известно, что
.
Если
- точное значение не скалярной, а векторной
величины, т.е.
,
а
- известное приближение к нему:
,
то, по аналогии со скалярной величиной,
под абсолютной (относительной) погрешностью
будем понимать некоторую величину
(
),
про которую известно, что
,
где
-
норма вектора-аргумента.
Если
- матрица, а
- матрица приближения, то под абсолютной
(относительной) погрешностью будем
понимать некоторую величину
(
),
про которую известно, что
,
где - матричная норма.
Относительную погрешность часто выражают в процентах.
Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Пример.
У чисел
,
значащие цифры подчеркнуты.
Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Пример.
,
;
,
.
Подчеркнутые цифры – верные.
Если все значащие цифры верные, то говорят, что число записано со всеми верными цифрами.
Часто информация о некоторой величине задается пределами ее измерения:
(например,
).
Принято записывать эти пределы с одинаковым числом знаков после запятой.
Информация о том, что является приближенным значение числа с абсолютной погрешностью , иногда записывают в виде
,
числа и принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой. Например,
означает, что
.
Соответственно информацию о том, что является приближенным значение числа с относительной погрешностью , записывают в виде:
.
Например, запись
означает, что
.
Следует
различать формально математическую и
обиходную терминологии в рассуждении
о величине погрешности. Если в постановке
задачи говорится, что требуется найти
решение с погрешностью
,
то чаще всего предполагается лишь, что
погрешность имеет такой порядок. Если,
например, решение будет найдено с
погрешностью
,
то такой результат, скорее всего, также
удовлетворит заказчика.