Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле

(2)

В частности при m=1 получим предыдущую формулу (имеем в виду, что 0!=1, производная нулевого порядка – сама функция); при m=2 (для полюса второго порядка)

Особая точка называется существенно особой точкой, если не существует. В этом случае resf(z₀) определяется, как коэффициент a_-1 при минус первой степени при (z-z₀) разложения f(z) в ряд Лорана.■

Пример 2.

Найти особые точки функции .

□Эта функция имеет две особые точки и . Найдем пределы функции в этих точках.

- предел конечный, следовательно, z₁=0 – устранимая особая точка. Вычет в ней равен 0. , следовательно, точка – полюс. Поскольку –1 простой ноль функции точка является простым полюсом. Вычет в ней .

Замечание. При вычислении пределов использовалось правило Лопиталя.■

Пример 3.

Найти особые точки функции , определить их тип, найти вычет в каждой из них.

□f(z) имеет три особых точки: z₁=0, z₂=2i. Пределы f(z) равны во всех трех точках, т.е. все они полюсы. z₁=0 – полюс третьего порядка, т.к. точка является нулем третьей кратности функции , а точки z₂=2i и – полюса второго порядка, т.к. они двукратные нули функции .

Найдем вычеты в этих точках по формуле (2).

■

Пример 4.

Вычислить интеграл

□Чтобы вычислить интеграл по замкнутому контуру нужно воспользоваться таким алгоритмом.

1. Определить контур интегрирования на комплексной плоскости, указав положительное направление обхода контура.

2. Найти особые изолированные точки внутри контура интегрирования, определить их тип и вычислить вычеты в этих точках.

3. Вычислить интеграл по теореме Коши о вычетах.

В рассматриваемом примере контур интегрирования =4 – окружность с радиусом 4 и центром в начале координат (рис. 2).

Рис. 2

F(z) имеет две особые изолированные точки (на рис. 2 они обозначены крестами). В примере 2 было установлено, что х₁=0 – устранимая особая точка и resf(0)=0, а – простой полюс с вычетом .

По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен

.■

Пример 5.

Вычислить

□Контуры интегрирования изображены на рис. 3. В Примере 3 определенно, что подынтегральная функция имеет три особые изолированные точки z₁=0, z₂=2i, . При этом z₁=0 полюс третьего порядка, вычет в точке z₁ . Z₂=2i – полюс второго порядка, – полюс второго порядка, В области ограниченной L₁- окружностью радиуса 3 центром в точке 0₁ (0;-2i) – находятся две изолированные точки z₁=0 и z₃=-2i, т.е.

.

В области ограниченной L₂ , функция регулярна, следовательно, по интегральной теореме Коши

В третью область, ограниченную окружностью радиусом с центром в начале координат входят все три особые точки, поэтому

_■

Р ис. 3.

, .

Задание 8

Определение кратчайшего пути на графе и построение минимального

остовного дерева.

1. Цель работы

Научиться применять алгоритм Дейкстры для определения кратчайшего пути на графах и алгоритм ближайшего соседа для построения остовного дерева.

2. Основные теоретические положения

Подробно изложены в разделе 3.1 (см. с.56-59).