- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
2 Скорость точки при сложном движении
Докажем теорему о сложении скоростей для сложного движения точки, состоящего из относительного движения по отношению к подвижной системе отсчета Охуz и переносного движения вместе с этой системой в случае, когда подвижная система отсчета связана с твердым телом, совершающим произвольное движение в пространстве (рис. 13.4).
Это произвольное движение в механике принято называть общим случаем движения, которое можно разложить на поступательное движение вместе с некоторым полюсом и вращательное движение вокруг этого полюса. В процессе вращения неподвижной остается только одна точка, поэтому такое вращение называется сферическим, а ось вращения, в отличие от обычного вращательного движения, мгновенной, т.к. ее положение в пространстве изменяется со временем.
Таким образом, само переносное движение является сложным, представляющим собой совокупность поступательного движения подвижной системы вместе с точкой О (полюсом) и сферического движения вокруг этого полюса. Это сферическое движение в каждый момент можно рассматривать как вращение подвижной системы с угловой скоростью вокруг мгновенной оси Ώ, проходящей через полюс О.
Во все время движения точки радиусы-векторы связаны зависимостью
. (13.1)
Вектор абсолютной скорости точки
.
Дифференцируя выражение (13.1) и учитывая, что орты подвижной системы Oxyz, оставаясь неизменными по модулю, вращаются вокруг мгновенной оси с угловой скоростью , получаем
(13.2)
Производная от каждого орта по времени представляет собой линейную скорость точки, для которой этот орт является радиусом-вектором (рис. 13.4):
.
Рис. 13.4 Рис. 13.5
Но каждый орт вращается вокруг мгновенной оси , и вращательная скорость его конца определяется векторным произведением:
Следовательно,
Таким образом
(13.3)
Подставляем (13.3) в (13.2):
Здесь - скорость полюса О;
- относительная скорость точки М.
Поэтому
(13.4)
Переносная скорость точки, как указывалось ранее, представляет собой скорость точки, связанной с подвижной системой отсчета и совпадающей в данный момент с движущейся точкой М. В рассматриваемом случае такой точкой является точка М свободного твердого тела. Скорость этой точки состоит из скорости полюса О и вращательной скорости точки вокруг мгновенной оси Ώ, т. е.
(13.5)
На этом основании формула (4) принимает вид
(13.6)
Это равенство выражает теорему о сложении скоростей, которая формулируется так: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей.
Эту теорему называют правилом параллелограмма или треугольника скоростей.
Как видно, в рассматриваемом случае сложного переносного движения переносная скорость точки , сама определяется как диагональ параллелограмма, построенного на скорости полюса и вращательной скорости точки вокруг мгновенной оси Ώe, (рис. 13.4).
В случае поступательного переносного движения скорости всех точек, неизменно связанных с подвижной системой отсчета, в каждый момент геометрически равны. Поэтому переносная скорость точки М равна скорости полюса и формула (13.5) принимает вид
Очевидно, что в этом случае абсолютная скорость точки М также определяется по формуле (13.6).
Так как абсолютная скорость точки определяется диагональю параллелограмма, построенного на переносной скорости , и относительной скорости , то ее модуль можно вычислить по формуле
(13.7)