- •В.С. Козлов
- •Принятые обозначения:
- •Индексы:
- •1. Основные сведения из аэрогазодинамики
- •1.1. Число Маха
- •1.1.1. Определение числа Маха путем измерения полного и статического давлений
- •Сверхзвуковым потоком газа
- •1.2. Сопло Лаваля
- •И сечением струйки тока
- •В зависимости от скорости. Критические значения параметров
- •1.2.4. Скорость истечения и расход газа при истечении из сопла
- •С относительными скоростью и давлением
- •1.3. Тела вращения в сверхзвуковом потоке
- •1.3.1. Сопротивление тела вращения при сверхзвуковых скоростях. Общие сведения
- •Сверхзвуковым потоком
- •Потоком конус-цилиндрических тел.
Сверхзвуковым потоком
Рассмотрим осесимметричное обтекание конуса с углом полураствора сверхзвуковым потоком. Решение этой задачи используется, в частности, для определения коэффициента волнового сопротивления конических носовых частей корпусов ЛА.
Рис. 20. Осесимметричное
обтекание
острого конуса
Для определения поля скоростей имеем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестными являются только составляющие скорости и .
. (3.4)
Для решения задачи необходимо задать граничные условия:
1. На поверхности конуса нормальная составляющая скорости равна нулю (условие непротекания через поверхность)
. (3.5)
2. На поверхности скачка уплотнения составляющие скорости и должны удовлетворять основным соотношениям для косого скачка уплотнения (рис. 21):
. (3.6)
Условия (3.6) можно свести к одному для составляющих скорости и за скачком уплотнения, исключив из них :
. (3.7)
Рис. 21. Треугольники
скоростей для косого скачка уплотнения.
Система дифференциальных уравнений (3.4) при граничных условиях (3.5) и (3.7) может быть решена численно методом конечных разностей. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений можно начать с поверхности конуса ( ), задаваясь величиной скорости потока на поверхности конуса, или с поверхности скачка уплотнения, задаваясь углом при данном . В первом случае в результате решения должны быть найдены соответствующие заданной скорости число , угол наклона скачка и поле скоростей между конусом и скачком уплотнения, а во втором случае – угол и скорость на промежуточных конусах.
Для численного интегрирования вводят в рассмотрение безразмерные составляющие скорости и скорости звука:
.
В записи через конечные разности система дифференциальных уравнений (3.4) принимает вид
, (3.8)
где – приращение угла , – угол промежуточного конуса . Если расчет начинается с поверхности скачка уплотнения, то (при ), если с поверхности конуса, то (при ).
При расчете с поверхности конуса с углом задаемся относительной скоростью на его поверхности, приращением и переходим от поверхности конуса к промежуточному конусу . Получим
,
так как , а , затем находим составляющую скорости :
.
Далее, зная и , из второго уравнения системы (3.8) определяем , а из первого – , где , и т.д. Интегрирование продолжается до тех пор, пока не будет выполняться условие на скачке уплотнения (3.7), которое для составляющих скорости, отнесенных к , имеет вид
.
Угол наклона скачка будет равен углу того промежуточного конуса , для которого выполняется это условие.
Анализ результатов расчета показывает, что каждому углу конуса теоретически соответствуют два решения. Одно дает меньшую скорость и больший угол наклона скачка, другое наоборот – большую скорость и меньший угол скачка. Как показывают исследования, реальным для присоединенного конического скачка является второе решение (как и в случае плоского течения).
Зная и составляющую за скачком уплотнения, рассчитываем:
а) число
, где и ,
; (3.9)
б) отношение давления за скачком уплотнения к давлению набегающего потока по известному соотношению для косого скачка уплотнения
, (3.10)
Угол наклона скачка можно определить с помощью рис. 3 прил. по величине и углу конуса . Давление на поверхности конуса рассчитывается по формуле изоэнтропического течения
, (3.11)
здесь .
Как известно, коэффициент волнового сопротивления конуса , отнесенный к площади миделя (здесь – к площади донного среза) равен коэффициенту давления на поверхности конуса
, где . (3.12)
В результате обработки данных точной теории для расчета коэффициента давления на конусе, т. е. коэффициента волнового сопротивления, получена приближенная формула
, (3.13)
где угол – в градусах. Расчет по формуле (3.13) можно вести до значений и . Нижний предел допустимых значений и определяется теми их значениями, при которых поток между конусом и скачком остается сверхзвуковым.
Рис. 22. Форма
линий тока в области за коническим
скачком уплотнения
1.3.3. Несимметричное обтекание конуса сверхзвуковым потоком назад
Система уравнений
При сверхзвуковом обтекании конуса под углом атаки поток около него будет обладать свойством конического течения с той особенностью, что параметры сохраняют постоянное значение не целиком на конической поверхности, а вдоль отдельных прямолинейных образующих конуса. Параметры в таком потоке изменяются при переходе от одной образующей, проходящей через вершину конуса, к другой. Такой конический поток обычно рассматривают в сферической системе координат (рис. 23), выбранной таким образом, что координате соответствует вершина конуса, оси координат (ось 3) – направление скорости набегающего потока, а меридиональной плоскости – плоскость, проходящая через ось 3 и ось 1 – ось симметрии конуса. В этой системе координат уравнение конуса, наклоненного к оси 3 под углом (на рис. 23 этот угол отрицательный), будет следующим:
Рис. 23. Схема потока
около конуса, наклоненного под углом
атаки
(1 – ось конуса, 2
– ось скачка уплотнения, 3 – ось координат
и направление
)
где – сферическая координата для образующей конуса.
Из свойств конического потока следует, что значения его параметров не зависят от r, а являются функциями переменных и . Поэтому в уравнениях возмущенного течения отсутствуют производные по r. В случае несимметричного конического сверхзвукового потока течение в плоскости будет изоэнтропическим. Это объясняется тем, что вдоль линии пересечения этой плоскости с поверхностью скачка, представляющей собой прямую линию, энтропия будет постоянной, так как условия перехода газа через скачок будут одинаковыми для каждой линии тока. Такое же явление будет наблюдаться в любой другой плоскости . Однако в связи с тем, что наклон скачка неодинаков в каждой из этих плоскостей, неодинаковой будет и энтропия, являющаяся, таким образом, функцией угла . Из этого следует, что несимметричный конический поток за скачком оказывается неизоэнтропическим.
Теоретической основой для исследования такого потока являются уравнения движения идеальной среды и уравнение неразрывности в сферической системе координат (см., например, [9, с.49, 52, 137]). Решения системы дифференциальных уравнений находят в виде
(3.15)
Аналогичные выражения записывают и для остальных искомых параметров: составляющих скорости по соответствующим направлениям сферической системы координат и , давления , плотности . Здесь – параметры симметричного обтекания на промежуточном конусе с углом .
Каждое из уравнений (3.15) представляет собой ряд, в котором член, линейный по отношению к углу атаки, определяет решение в первом приближении, а квадратичный член – во втором. При малых углах значения параметров будут мало отличаться от соответствующих значений при симметричном обтекании, и влияние угла достаточно учесть только линейными членами. С возрастанием становится необходимым вести расчет с учетом второго приближения, которым обычно и ограничиваются, полагая, что углы атаки не велики.
В рассматриваемых уравнениях коэффициенты можно рассматривать как величины, определяющие эффект угла атаки в первом приближении, а коэффициенты и др. – во втором. Все эти коэффициенты зависят от одной переменной .
Из выражений (3.15) следует, что определение параметров обтекания конуса под углом атаки начинается с решения частной задачи о симметричном потоке около того же конуса. В результате ее решения отыскивают значения в зависимости от угла . В дальнейшем рассматривают влияние угла атаки.
Задача о влиянии угла атаки в первом приближении сводится к определению коэффициентов рядов (3.15) при условии, что квадратичные и более высокие степени в них отсутствуют, при этом принимают n = 1. Тогда система (3.15) запишется так:
. (3.16)
Найденные в результате решения задачи коэффициенты x, y, z, отнесенные к максимальной скорости , а также безразмерные величины затабулированы для различных конусов и чисел . Частично эти результаты приведены в табл. 11, 12 [9]. При их помощи по формулам (3.16) ведется расчет скорости, давления и плотности.
Приближенный метод расчета (метод местных конусов)
Для оценки параметров на поверхности несимметрично обтекаемого конуса можно непосредственно воспользоваться результатами, полученными для нулевого угла атаки.
Существо приближенного метода заключается в следующем. Предполагают, что каждая образующая конуса, отклоненного на некоторый угол , принадлежит условному конусу, симметрично обтекаемому тем же потоком. Этот конус, построенный на основе местной образующей с наклоном к направлению невозмущенного потока, называется местным конусом. Имея результаты теории симметричного обтекания, можно определить параметры на поверхности местного конуса, следовательно и на той образующей, которая принадлежит действительному конусу.
Основным элементом предварительного расчета является значение угла местного конуса. Его величину можно получить из выражения (3.14). Однако лучшее соответствие результатов расчета параметрам течения получается в том случае, если вместо угла использовать угол . Угол рассчитывается по формуле
, (3.17)
которая при значениях (подветренная сторона) и (наветренная сторона, рис. 22) дает те же результаты, что и формула (3.14), а для промежуточных значений – меньшие значения угла местного конуса.
В ходе расчета задаются углами , определяют для заданных фиксированных значений и соответствующие величины , а по ним, зная число , по теории симметричного обтекания определяют параметры на отклоненном конусе. Результаты расчета дают зависимости параметров на поверхности конуса от угла . Наряду с этим можно найти параметры течения за скачком уплотнения и угол его наклона.
Погрешность этого метода оценивают путем сравнения результатов с точной теорией и экспериментальными данными. На образующих, принадлежащих нулевой меридианальной плоскости ( и равны 0 или ), должно иметь место совпадение результатов. На промежуточных образующих (углы отличны от 0 и ) вследствие перетекания газа, обусловленного нарушением симметрии течения и не учитываемого в методе местных конусов, в соответствующих точках поверхности наблюдается отклонение вычисленных значений параметров от действительных. При этом с увеличением скорости и уменьшением угла атаки точность расчетов повышается. Поэтому целесообразно этот метод применять при достаточно больших скоростях и сравнительно малых углах атаки.
1.3.4. Приближенный метод расчета обтекания сверхзвуковым назад