- •7 Интерполяция, экстраполяция
- •7.1 Постановка задачи
- •7.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа для произвольных узлов
- •7.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа для равностоящих узлов
- •7.4 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов
- •7.4.1 Конечные разности
- •7.5 Погрешность многочленной интерполяции
- •7.6 Пример вычисления значения интерполяционного многочлена Лагранжа
- •7.7 Контрольные вопросы
- •7.8 Задания к лабораторной работе № 7
7.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа для равностоящих узлов
Пусть на отрезке задана система равноотстоящих узлов которыми отрезок делится на равных частей
где
В этом случае интерполяционный многочлен Лагранжа строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный вид.
Обозначим , где . Отсюда:
..................................................
Т.е. в общем случае:
(7.10)
Используя (7.10) и принятое обозначение получим:
(7.11)
Учитывая, что найдем:
(7.12)
Заметим, что в (7.12) ровно строк ( -я строка отсутствует); причем численные значения первых строк положительны, а остальные — отрицательны. Используя (7.12), получим:
т.е.
(7.13)
С учетом (7.11) и (7.13) формула Лагранжа для равноотстоящих
узлов примет вид:
(7.14)
7.4 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов
На практике часто встречается случай, когда интерполяционная функция подбирается для таблиц с равноотстоящими значениями аргумента Рассмотрим метод построения интерполирующей функции, основанный на вычислении конечных разностей.
7.4.1 Конечные разности
Назовем конечными разностями разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции:
где Полученные конечные разности будем называть разностями первого порядка. Из разностей первого порядка получим разности второго порядка:
где
Повторяя процедуру, получим конечные разности третьего порядка:
Для конечных разностей -го порядка:
В результате получим таблицу конечных разностей:
.............
Используя понятие конечных разностей выведем интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов
7.4.2 Интерполяционная формула Ньютона
Полином -й степени (т.е. имеющий корней)
перепишем в виде
где — узлы интерполяции.
Т.к. полином выбирается таким образом, чтобы — значения заданной функции совпадали с — значениями интерполирующей функции в узлах, то, полагая найдем
Полагая найдем
Полагая найдем
отсюда
Полагая найдем
отсюда и т.д.
В общем случае и
отсюда
Подставив вычисленные значения в выражение для многочлена , получим
(7.15)
Полученное выражение называется интерполяционной формулой Ньютона для равноотстоящих узлов.
7.5 Погрешность многочленной интерполяции
1. Оценочная формула погрешности метода интерполирования по формуле Лагранжа записывается следующим образом:
(7.16)
где — максимальное значение производной от интерполирующей функции на отрезке (считаем, что функция дифференцируема на отрезке раз).
2. Погрешность при интерполяции полиномом Ньютона оценивается по формуле:
(7.17)