3.2Уравнение Вольтерра первого рода

Линейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода имеет вид:

Если k(a,a) не равно 0, f(a)=0 и если функции f(x),k(x,s) имеют производные f'(x),k'x(x,s), непрерывные в интервале (a,b), заключенном в интервале интегрирования, внутри которого k(x,s) не обращается в нуль, то уравнение Вольтерра первого рода допускает в интервале (a,b) непрерывное и единственное решение.

Представленная процедура решает уравнение методом квадратурных формул. Вычисление интеграла производится по формуле трапеций с постоянным шагом h:

где xi=a+(i-1)h, i=2,3,..., Aj=1 при j > 1 и Aj=0.5 при j=1.

3.3Линейное уравнение Вольтерра второго рода

Линейное интегральное уравнение Вольтера второго рода имеет вид:

Причем независимые переменные x,s изменяются на промежутке [a,b], ядро k(x,s) непрерывно внутри и на сторонах треугольника, ограниченного прямыми s=a,x=b,x=s. Функция f(x) на [a,b] непрерывна.

Уравнение данного типа решается с помощью метода квадратурных формул, суть которого состоит в замене интегрального уравнения апроксимирующей системой алгебраических уравнений относительно дискретных значений искомой функции и решении этой системы. В основе такой замены лежит приблежение интеграла квадратурными формулами. Применение формулы трапеций с постоянным шагои h приводит к рекурентной формуле:

где i=2,3,...,1+(b-a)/h, xi=a+(i-1)/h, Aj=1 при j > 1 и Aj=0.5 при j=1.

3.4Уравнение Фредгольма второго рода

Линейное интегральное неоднородное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид:

где ядро определено в квадрате V=[a,b]*[a,b]. Кроме того, полагается, что ядро непрерывно в V. При =1, используя квадратурную формулу трапеций с постоянным шагом h, получим:

где n=(b-a)/h+1 - целое, Aj=1 при j не равном 1 или n и Aj=0.5 при j=1 или n.

В процедуре используется переменная S. S=0, если полученная система алгебраических уравнений не определена и численное решение уравнения не найдено. S=1, тогда численное решение содержится в массиве y.

4Методы оптимизации

4.1Метод наискорейшего спуска

Методом наискорейшего спуска может быть найден минимум функции n переменных F(x1, . . . ,xn) или найдены решения системы уравнений вида:

Fi(x1,x2, . . .,xn)=0, i=1, . . ,n.

Решение данной системы эквивалентно отысканию равного нулю минимума функции:

Для нахождения минимума F задаем некоторое начальное приближение xi(0) (i=1,...,n) и строим последующие приближения по формуле:

где направления vi(j) и величина шага на j-м шаге соответственно равны:

Все производные вычисляются при xi=xi(j).

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет удовлетворяться условие

|xi(j+1)-xi(j)| < e (i=1,...,n)

или все производные dF/dxk не станут равны нулю.

В процедуре используются функция F(x:array[1..n] of real):real; - минимизируемая функция; набор функций DF (i:integer;x:array[1..n] of real):real;- производные dF/dxi набор функций DF2 (i,j:integer;x:array[1..n] of real):real;- производные d2F/dxidxj

4.2Минимизация функции многих переменных методом конфигураций

Пусть задана функция n переменных F(x1,x2, . . ., xn). Поиск минимального значения начинаем с некоторой начальной точки Pi и начального шага S1 i=d. Вычисляем значение функции в точках F(P1,...,Pi-d,...,Pn), F(P1,...,Pi,...,Pn), F(P1,...,Pi+d,...,Pn). Если из этих трех значений функция минимальна в крайней точке, то принимаем ее за начальную, если в средней точке (P1,...,Pi,...,Pn), то она принимается за начальную, а размер шага по xi уменьшается на коэффициент r и становится равным по i-му аргументу S1 i=S1 i r. Вычисления прекращаются, если размер шага по всем аргументам становится меньше d1 или количество вычислений функции F становится больше m2.