3.2.1 Інтеграл Максвелла-Мора.

Розглянемо балку довжиною , навантажену в точці 1 силою (рис. 3.3). Визначимо переміщення (у точці 2 від сили, прикладеної в точці 1).

1. Перший стан. У точці 1 прикладемо зосереджену силу F. Прогин у точці 1 дорівнює , у точці 2 - . У перерізах балки виникає згинальний момент від зовнішнього навантаження . Сила F прикладається статично і виконує роботу на шляху (див. графік на рис.3.3.1). Визначаємо потенційну енергію деформації, виражену через згинальний момент , за формулою (3.12): . Але потенційна енергія деформації чисельно дорівнює роботі зовнішніх сил , тобто: .

2. Другий стан. У точці 2 статично прикладемо одиничну силу, що, згинаючи балку, виконує роботу (див. графік на рис.3.3.2) на переміщенні . У перерізах балки виникає згинальний момент від одиничної сили. Робота одиничної сили . Потенційна енергія деформації . Як і в попередньому випадку .

Рис.3.3.

3. Третій стан. У точці 2 статично прикладемо одиничну силу, що, деформуючи балку, виконує роботу на переміщенні (див. графік на рис. 3.3.3). До деформованої балки статично у точці 1 прикладемо зосереджену силу , що, деформуючи балку з уже прикладеною одиничною силою, виконує роботу (див. графік) на переміщенні . Точка 2 одержить ще переміщення , а одинична сила виконає роботу (див. графік) на переміщенні . Від дії сили й одиничного навантаження в перерізах балки виникає сумарний згинальний момент . Робота двох сил визначиться як:

,

а потенційна енергія пружної деформації виразиться через сумарний згинальний момент як:

.

Порівнюючи вирази для , після нескладних перетворень одержимо:

. (3.5)

Порядок визначення переміщень за допомогою інтеграла Максвелла-Мора.

1. Прикладаємо зовнішнє навантаження, визначаємо опорні реакції, розбиваємо балку на ділянки, записуємо вирази (функції) згинаючого моменту для кожної ділянки.

2. У точці, переміщення якої визначаємо, прикладаємо:

   1. Одиничну силу при визначенні прогину (лінійного переміщення);

   2. Одиничний момент при визначенні кутового переміщення.

Визначаємо опорні реакції й у такому ж порядку, як і для зовнішнього навантаження, на кожній ділянці записуємо вирази (функції) згинаючого моменту .

3. Підставляємо функції (вирази) і в інтеграл Максвелла-Мора та робимо відповідні обчислення.

4. Результат обчислень позитивний, якщо напрямок одиничного навантаження, що прикладається, збігається з напрямком дійсного переміщення, і негативний, якщо напрямок одиничного навантаження, що прикладається, не збігається з напрямком дійсного переміщення.

Приклад 2. Консольна балка постійного поперечного перерізу (ЕI_x=const) довжиною навантажена на кінці зосередженою силою (рис.3.4а). Визначити прогин та кут повороту на кінці консолі.

Рис. 3.4.

1. Запишемо функцію (рис.3.4а).

2. У точці прикладаємо одиничну силу (рис.3.4б) та записуємо функцію .

3. Підставляючи й в інтеграл, одержимо: (див. приклад 1 на рис. 3.2).

4. Для визначення кутового переміщення у точці прикладаємо одиничний момент (рис.3.4в) та записуємо функцію .

5. Підставляючи й в інтеграл, одержимо: .

Результат обчислення прогину позитивний, тому що прикладена одинична сила збігається з напрямком дійсного переміщення. Результат обчислення кута повороту негативний, тому що прикладений одиничний момент по напрямку не збігається з дійсним напрямком кута повороту перерізу в точці .