2.2.1 Оценка устойчивости исследуемой сау по критерию Михайлова

Этот критерий основан на связи между характером переходного процесса, который возникает при нарушении равновесия системы и амплитудой и фазой вынужденных колебаний, устанавливающихся в системе под воздействием внешних возмущающих воздействий. Рассмотрим некоторую систему с характеристическим уравнением:

(јω) = P(ω) + Q(jω)

Годографом Михайлова называют кривую, которую вычерчивает на комплексной плоскости вершина вектора , представляет собой левую часть характеристического уравнения исследуемой системы при изменений частоты ω от -∞ до 0 и от 0 до +∞.

При этом вектор поворачивается на угол n против часовой стрелки если система устойчива и на угол n по часовой стрелке, если система неустойчива.

Чтобы дать определение критерию устойчивости в форме, предложенной Михайловым необходимо отметить следующее: так как вещественная часть (P(ω)) является четной, а мнимая часть (Q(jω)) — нечетной функцией частоты ω, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси, поэтому нет необходимости рассматривать лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор .

Чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при увеличении ω от 0 до +∞, начав движение из точки, лежащей на положительной части вещественной оси, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в ноль, прошел последовательно n квадрантов, повернувшись на угол n .

Для оценки устойчивости системы автоматического управления по критерию Михайлова необходимо воспользоваться характеристическим уравнением замкнутой системы автоматического управления.

ПРИМЕР:

A(p)=0.001p⁴+9.7008p³+7.77p²+103p+600=0

Характеристическое уравнение – это знаменатель передпточной функции замкнутой системы, приравненнный к нулю. В характеристическом уравнении замкнутой системы заменим p на jω, тогда получим:

А(iω)=0.001ω⁴-9.7008iω³-7.77iω²+103iω+600=0

Выделим из уравнения действительную и мнимую части и получим:

P(ω)= 0.001ω⁴-7.77iω²+600 – вещественная часть;

Q(iω)=-9.7008iω³+103iω - мнимая часть

Для того, чтобы построение годографа Михайлова было простым и не затруднительным, составим таблицу в которой отметим различные значения координат P(ω) и Q(jω) при различных значениях частоты ω.

Таблица 2.1 – Координаты точек годографа Михайлова

ω	P(ω)	Q(iω)
0	600	0
1	592.231	93.2992
2	568.936	128.3936
3	-530.151	47.0784
4	-475.936	-208.8512
5	-406.375	-697.6
6	321.576	-1477.3728
7	221.671	-2606.3744
8	106.816	-4142.8096
9	-22.809	-6144.8832
10	-167	-8670.8
+ 	+ 		- 

Теперь по полученным точкам построим годограф Михайлова. Пример годографа представлен в ПРИЛОЖЕНИИ К.

Система устойчива, т. к. годограф Михайлова выйдя из точки на положительной вещественной полуоси с координатами (600; 0;) последовательно прошел против часовой стрелки четыре квадранта, нигде не обернувшись в нуль, что соответствует характеристическому уравнению четвертого порядка