5.2. Метод а. Н. Крылова

В начале тридцатых годов нашего столетия А. Н. Крыловым был предложен достаточно удобный, метод нахождения собственных значений и собственных векторов матриц. Пусть

D(λ) ≡ det(λ E - A) = λⁿ + p₁ λⁿ^-1 + p₂ λⁿ^-2 + …., + р_п (5.1)

— характеристический полином (с точностью до знака) матрицы А. Согласно тождеству Гамильтона — Кели, матрица А обращает в нуль свой характеристический полином; поэтому

Aⁿ + p₁ Aⁿ^-1 +…+ p_n E = 0. (5.2)

Возьмем теперь произвольный ненулевой вектор y ⁽⁰⁾ =

Умножая обе части равенства (5.2) справа на y⁽⁰⁾ получим:

Aⁿ y⁽⁰⁾ + p₁ A^n-1 y⁽⁰⁾ +…+ p_n y⁽⁰⁾ = 0. (5.3)

Положим:

A^k y⁽⁰⁾= y⁽^k⁾ (k=1, 2, ..., п); (5.4)

тогда равенство (5.3) приобретает вид

y⁽ⁿ⁾ + p₁ y⁽ⁿ^-1) +…+ p_n y⁽⁰⁾ = 0. (5.5)

или (5.5^*)

где

y⁽^k⁾ = , (k=1, 2, ..., п).

Следовательно, векторное равенство (5.5^*) эквивалентно системе уравнений

p₁ y_j ⁽ⁿ^-1) + p₂ y_j⁽ⁿ^-2) + …., + р_п y_j⁽⁰⁾ = - y_j⁽ⁿ⁾ (j = 1. 2. . . ., n), (5.6)

из которой можно определить неизвестные коэффициенты p₁, p_2,....., р_п .

Так как на основании формулы (5.4)

y^(k) =A y ^(k
-1), где (k = 1, 2, . . ., п),

то координаты y₁ ⁽^к⁾ , y₂ ⁽^к⁾ , …, y_n ⁽^к⁾ вектора y⁽^k⁾ последовательно вычисляются по формулам

, ,…, (5.7)

Таким образом, определение коэффициентов p_j характеристического полинома (5.1) методом А. Н. Крылова сводится к решению линейной системы уравнений (5.6), коэффициенты которой вычисляются по формулам (5.7), причем координаты начального вектора

y ⁽⁰⁾ =

произвольны. Если система (6) имеет единственное решение, то ее корни р₁, р₂, ..., р_п являются коэффициентами характеристического полинома (5.1). Это решение может быть найдено, например, методом Гаусса. Если система (5.6) не имеет единственного решения, то задача усложняется . В этом случае рекомендуется изменить начальный вектор.

Пример. Методом А. Н. Крылова найти характеристический полином матрицы

А =