Требования к оформлению отчета о выполнении лабораторной работы

В отчет о выполнении лабораторной работы необходимо включить следующие пункты:

1. Тема лабораторной работы;

2. Цель работы;

3. Постановка задачи и вариант задания;

4. Математическое описание метода решения поставленной задачи;

5. Листинг программы;

6. Результаты выполнения задания;

7. Анализ результатов и выводы.

Лабораторная работа № 1 Интерполирование функций многочленами Лагранжа

Цель работы: изучение методов интерполирования функций с помощью алгебраических многочленов на различных системах узлов (равноотстоящие, узлы Чебышева, узлы Лежандра).

Постановка задачи. Интерполировать функцию f(x) на отрезке [a,b] полиномами Лагранжа на указанных сетках узлов. Исследовать точность и устойчивость интерполяции, а также влияние на точность и устойчивость особых точек функции f(x).

Теоретическая часть

Пусть на отрезке даны n+1 различных значений аргумента: и известны для функции y=f(x) соответствующие значения:

Построим полином степени не выше n, имеющий в заданных узлах те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что i=0,1,...,n.

Построим сначала фундаментальный полином такой, что

, (1.1)

Введем функцию Тогда . Это справедливо, так как

Интерполяционный полином Лагранжа будет иметь следующий вид

(1.2)

Действительно, легко проверить, что полином (1.2) имеет степень n, и его значения совпадают со значениями интерполируемой функции в узлах интерполяции

Укажем схему, облегчающую вычисление коэффициентов при k=0,1,...n, в формуле Лагранжа (1.2), так называемых лагранжевых коэффициентов

Для вычисления лагранжевых коэффициентов (1.1) можно использовать следующую схему. Запишем таблицу разностей следующим образом:

(1.3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Обозначим произведение элементов первой строки через , второй - через и т.д., n-ной - через . Произведение элементов главной диагонали, как нетрудно видеть, будет w(x). Отсюда следует, что

(1.3)

Следовательно,

. (1.4)

Погрешность интерполяции многочленом Лагранжа (1.2) определяется формулой

(1.5)

При построении интерполяционного полинома большое значение имеет выбор узлов интерполяции. Возникает задача о наиболее рациональном выборе узлов так, чтобы полином имел наименьшее максимальное по модулю значение на отрезке [a,b].

Эта задача была решена П.Л. Чебышевым, который доказал, что наилучший выбор узлов дается формулой

(1.6)

- нули полинома Чебышева

В качестве узлов интерполирования можно также рассмотреть еще один пример не равноотстоящих узлов - нули многочлена Лежандра

Для вычисления полиномов Лежандра удобно пользоваться рекуррентной формулой

(1.7)

а для нахождения нулей полиномов можно пользоваться, например, методом деления пополам.

Указания к выполнению лабораторной работы

1. Составить и отладить программу на функции, не имеющей никаких особых точек на отрезке интерполирования.

2. При исследовании точности для каждой из систем узлов интерполяции рассмотреть интерполирование указанной в вариантах заданий функции на различном числе узлов интерполяции. Сделать вывод о влиянии количества узлов на точность интерполяции.

3. При исследовании устойчивости интерполяции считать, что значения интерполируемой функции известны с какой-то случайной погрешностью. Сделать вывод о том, как эта случайная погрешность в узлах интерполяции влияет на значения полинома Лагранжа в промежуточных точках.

4. Предположим, что функция f(x) имеет особую точку . Тогда для оценки влияния особой точки c на точность и устойчивость следует рассматривать интерполяцию функции f(x) на интервале , . Оценить точность и устойчивость интерполяции при различных значениях .

5. Погрешность интерполяции оценить в метрике пространства C[a;b]. Особо внимательно исследовать отклонение интерполяционного многочлена от функции вблизи особых точек.

Варианты заданий

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. ;

10. ;

11. ;

12. 

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

Контрольные вопросы

1. Почему в большинстве случаев интерполяция по узлам Чебышева более точная, чем по равноотстоящим узлам?

2. Будет ли производная многочлена Лагранжа, интерполирующего некоторую функцию f(x), достаточно хорошо приближать производную ?

Лабораторная работа № 2

Интерполирование периодических функций

Цель работы: изучение методов интерполирования периодических функций тригонометрическими полиномами.

Постановка задачи. Интерполировать периодическую функцию f(x) на интервале [a,b] тригонометрическими полиномами на различных сетках узлов (равноотстоящие, узлы Чебышева, узлы Лежандра). Исследовать точность и устойчивость интерполяции, оценить влияние особых точек на точность и устойчивость.

Теоретическая часть

Пусть на отрезке [a,b] задана периодическая функция f(x) с периодом T=2p. Предположим, что заданы 2n+1 узлов , и пусть в этих узлах известны значения функции f(x):

Построим тригонометрический периодический многочлен порядка n такой, что в узлах его значения совпадают со значениями функции f(x):

Построим сначала для каждого k=0,1,...,2n, фундаментальный многочлен

В качестве такого многочлена можно взять

(2.1)

Что это действительно тригонометрический многочлен, обнаруживается простыми тригонометрическими преобразованиями. Числитель (2.1) представляет собой произведение 2n множителей вида Произведение двух таких множителей дает

то есть тригонометрический многочлен первого порядка. Таким образом, нетрудно убедиться, что фундаментальный многочлен (2.1) представляет собой тригонометрический многочлен порядка n.

Тогда многочлен

(2.2)

представляет собой интерполяционный тригонометрический многочлен порядка n с периодом T=2p.

Если интерполируемая функция четная, то естественно искать четный интерполяционный многочлен, нечетные же функции целесообразно интерполировать нечетными интерполяционными многочленами.

Пусть f(x) - четная функция, заданная на отрезке [-p,p]. Рассмотрим полуотрезок [0,p). Пусть на нем заданы узлы и - соответствующие им значения функции f(x). Построим тригонометрический четный интерполяционный многочлен порядка n, принимающий в точках , соответственно значения ,

Фундаментальный многочлен в этом случае будет иметь вид

(2.3)

Интерполяционный тригонометрический многочлен будет иметь вид:

. (2.4)

Аналогично можно построить нечетный интерполяционный многочлен, который при принимает значения Для этого нужно построить тригонометрический многочлен порядка n, который в точках принимает соответственно значения В этом случае фундаментальный многочлен будет иметь вид:

(2.5)

Сам же интерполяционный тригонометрический нечетный многочлен будет иметь вид:

. (2.6)

Если рассматривать равноотстоящие узлы интерполяции то в качестве интерполяционного тригонометрического многочлена можно взять

, (2.7)

где фундаментальный многочлен определим как

(2.8)

Указания к выполнению лабораторной работы

1. Программу отладить на функции, не имеющей особых точек на отрезке интерполирования.

2. Для интерполирования четных и нечетных функций пользоваться соответственно четными и нечетными интерполяционными многочленами.

3. Погрешность интерполяции оценить в метрике пространства C[a,b].

Контрольные вопросы

1. Какими свойствами обладают тригонометрические интерполяционные многочлены?

2. Обоснуйте, что многочлен (2.7) действительно является интерполяционным тригонометрическим многочленом степени n.

3. Что такое устойчивость? Почему устойчивость интерполирования функций представляет большое значение?

Варианты заданий

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

Лабораторная работа № 3

Интерполирование функций двух переменных многочленами Лагранжа

Цель работы: интерполирование функций двух переменных многочленами Лагранжа на различных системах узлов.

Постановка задачи. Интерполировать функцию двух переменных f(x,y) в области [a,b]´[c,d] на различных системах узлов (равноотстоящие, узлы Чебышева, узлы Лежандра). Исследовать точность и устойчивость интерполяции, оценить влияние особых точек функции на точность и устойчивость.

Теоретическая часть

Рассмотрим функцию двух переменных f(x,y), xÎ[a;b], yÎ[c;d].

Выберем две системы узлов: и . Построим для функции f(x,y) интерполяционный полином сначала по переменной x по узлам :

(3.1)

где - фундаментальный многочлен по переменной x, определяемый формулой (1.1).

Далее для функции (3.1) построим интерполяционный многочлен порядка n по переменной y:

. (3.2)

Указания к выполнению лабораторной работы

1. Программу отладить для функции, не имеющей особых точек.

2. Погрешность интерполяции оценить в метрике пространства C[a,b]´[c;d].

Контрольные вопросы

1. Дайте теоретическую оценку погрешности интерполяции функции двух переменных. Как соотносятся между собой теоретическая погрешность и реально полученная погрешность в метрике C[a;b]?

2. Укажите основные свойства интерполяционного полинома Лагранжа для функции двух переменных.

Варианты заданий

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

Лабораторная работа № 4

Методы суммирования рядов Фурье

Цель работы: изучение методов суммирования рядов Фурье; исследование сходимости последовательности полиномов, построенных с помощью методов суммирования рядов Фурье для периодических функций, к приближаемым функциям.

Постановка задачи. Заданную функцию f(x) разложить в ряд Фурье. Просуммировать ряды Фурье различными линейными методами суммирования (методом частных сумм, методами Фейера, Валле - Пуссена и Бернштейна - Рогозинского). Исследовать точность и устойчивость различных методов суммирования. Оценить влияние особых точек на точность и устойчивость.