2.Квантовые постулаты бора и их экспериментальное подтверждение в опыте франка и герца

В 1900 г. М. Планк при решении задачи об энергии излучения абсолютно чёрного тела выдвинул гипотезу, коренным образом противоречащую всей системе представлений классической физики, а именно: энергия излучения конденсированных систем (твёрдые тела) может принимать только опредёленные, дискретные, квантовые значения. Гипотеза, которую Планк положил в основу своего вывода в современной, более точной формулировке, такова: осцилляторы могут находиться только в некоторых избранных состояниях, в которых их энергия является целым кратным наименьшего количества энергии Е₀: Е₀, 2Е₀, ЗЕ₀, ... , nЕ₀; при излучении или поглощении осцилляторы переходят из одного из этих состояний в другое скачком, минуя промежуточные состояния.

Таким образом, постулат о существовании устойчивых стационарных состояний осцилляторов явился необходимой предпосылкой для вывода правильной формулы излучения абсолютно чёрного тела. Н. Бору (1913 г.) принадлежит заслуга отчётливой формулировки этого положения и обобщения его на любые атомные системы. Тем самым впервые была показана неприменимость классической физики к внутриатомным движениям. Идея о квантах, высказанная Планком в применении к обмену энергией между полем излучения и линейными осцилляторами, приобрела универсальное значение как выражение наиболее характерной особенности процессов внутриатомного мира.

В основу квантовой теории строения атома Н. Бор положил следующие два постулата:

2.1. Атомы и атомные системы могут длительное время пребывать только в определённых – стационарных - состояниях, в которых, несмотря на происходящие в них движения заряженных частиц, они не излучают и не поглощают энергию. В этих состояниях атомные системы обладают энергиями, образующими дискретный ряд: Е₁, Е₂, ..., Е_n. Состояния эти характеризуются своей устойчивостью; всякое изменение энергии в результате поглощения или испускания электромагнитного излучения или в результате соударения может происходить только при полном переходе (скачком) из одного из этих состояний в другое.

2.2. При переходе из одного стационарного состояния в другое атомы испускают или поглощают излучение только строго определённой частоты. Излучение, испускаемое или поглощаемое при переходе из состояния Е_m в состояние Е_n, монохроматично и его частота  определяется из условия:

, (5)

где - постоянная Планка. Это соотношение носит название условия частот Бора.

Оба эти постулата резко противоречат требованиям классической электродинамики, так как по первому постулату атомы не излучают, несмотря на то, что образующие их электроны совершают ускоренное движение (например, обращение по замкнутым орбитам), а по второму - испускаемые частоты не имеют ничего общего с частотами периодических движений электронов.

Квантовые постулаты Бора были непосредственно экспериментально подтверждены опытами Дж. Франка и Г. Герца (1914 г). Первоначальная цель их состояла в измерении потенциалов ионизации атомов. Однако в результате экспериментов была решена более важная задача.

В опытах Франка и Герца через исследуемый газ проходили ускоренные электроны. При столкновении с атомами газа последние могли переходить в возбуждённые состояния, каждое из которых характеризуется определённым значением энергии. Если энергетические уровни атома дискретны, как утверждает первый постулат Бора, то кинетическая энергия электронов должна быть не меньше некоторой минимальной величины, чтобы они начали возбуждать атомы газа в результате электронного удара. Такой метод возбуждения атомов особенно пригоден для инертных газов и паров атомов металлов, так как атомы этих веществ не обладают электронным сродством, то есть не проявляют склонности к захвату электронов и образованию отрицательных ионов. Франк и Герц в первых опытах использовали пары ртути, которые обладали необходимой плотностью, чтобы электроны сталкивались с атомами достаточно часто.

Экспериментальная установка, реализующая идею Франка и Герца (изучение соударений медленных электронов с атомами), должна была удовлетворять следующим требованиям:

1. Источник электронов должен давать достаточно большое число медленных электронов с определённым начальным распределением скоростей.

2. Этим электронам можно сообщить любую, заранее известную, скорость путём воздействия приложенного извне ускоряющего поля.

3. Ускоренные электроны должны испытывать соударения с исследуемыми атомами или молекулами в определённом месте экспериментального аппарата.

Для получения пучков медленных электронов, удовлетворяющих указанным требованиям, используются газонаполненные лампы с горячим катодом.

На рис 2. приведена принципиальная схема экспериментальной установки.

Принципиальная схема установки в опыте Франка и Герца.

Рис.2

В баллоне В, наполненном парами инертного газа или металла, находится термокатод К. Испускаемые им электроны ускоряются полем, создаваемым разностью потенциалов U₁ (Uуск) между катодом и сеткой S. Эта разность потенциалов может изменяться при помощи потенциометра R₁. При этом электроны приобретают кинетическую энергию . Между катодом и сеткой S расположена область столкновений электронов с атомами инертного газа или металла. Пройдя область столкновений, электроны через сетку S попадают на коллектор L, создавая анодный ток I_a , измеряемый гальванометром G. Снятая с потенциометра R₂ разность потенциалов U₂ (U_зад), приложенная между сеткой S и коллектором L, создаёт задерживающее электроны электрическое поле (противоположного направления). Через это поле могут пройти и достигнуть коллектора лишь те электроны, которые попали в задерживающий промежуток с кинетическими энергиями . В противном случае они не смогут преодолеть задерживающий потенциал U_зад и на коллектор не попадут. Таким образом, назначение сетки заключается в том, чтобы "вылавливать" электроны, почти полностью потерявшие свою энергию вследствие неупругих соударений. Амперметр А служит для контроля постоянства тока накала.

Следует отметить, что наличие инертного газа или атомов металла в баллоне при определённом давлении (меньше атмосферного) существенно меняет картину физических процессов в объёме баллона. Если бы в баллоне поддерживался достаточно высокий вакуум (отсутствие атомов и молекул газа или паров металла), то примерная зависимость термоэлектронного (анодного) тока I_а от ускоряющего напряжения представлялась бы кривой, приведённой на рис. 3.

Вольтамперная характеристика вакуумной трубки с горячим катодом.

I(I_a) – анодный ток, U₁(U_уск) – ускоряющее напряжение.

Рис.3

Из-за пространственного заряда эта кривая в самом начальном участке следовала бы закону трёх вторых (I~U^3/2 - закон Богуславского-Ленгмюра), а при больших значениях напряжения между катодом и анодом возникает ток насыщения, не зависящий от U₁(U_уск). Его возникновение объясняется тем, что все электроны, покидающие катод в результате термоэлектронной эмиссии, переносятся электрическим полем к аноду (коллектору).

Эксперименты Франка и Герца показали, что при наличии в баллоне ртутных паров или других газов кривая I_а=I_а(U_уск) имеет качественно совсем другой вид. На ней появляются резко выраженные максимумы и минимумы тока, протекающего через коллектор. Для паров атомов ртути расстояние между соседними максимумами или минимумами было равно примерно 4,9В (рис. 6). Такой ход вольтамперной характеристики свидетельствует о колебательном характере взаимодействия электронов с атомами ртути и связано с дискретным характером энергетических состояний атомов ртути, причём для атома ртути ближайший энергетический уровень лежит выше основного, невозбуждённого уровня примерно на величину энергии, равную W = 4,9 эВ (1 эВ = 1,6∙10^-19 Дж).

Столкновения электрона с атомами ртути могут быть упругими и неупругими. Не рассматривая сложный квантовый механизм взаимодействия электронов с электронными оболочками атомов, можно на основе классических моделей и законов сохранения энергии показать, что максимум тока в эксперименте указывает на упругое столкновение электронов с атомами ртути.

Запишем законы сохранения энергии и импульса при почти абсолютно упругом соударении без учёта релятивистских эффектов, полагая атомы ртути покоящимися до соударения:

,

где - скорости электрона до и после соударения; - скорость атома после соударения; - масса электрона, М - масса атома.

Разность энергий обозначим:

и подсчитаем относительную убыль энергии электрона:

(6)

Если , то . Поскольку , то =0 и электроны не изменяют своей энергии, а значит, не влияют на внутреннюю энергию атома. Наоборот, при неупругом соударении можно получить выражение из закона сохранения импульса:

(7)

Таким образом, при неупругом соударении , то есть вся энергия ускоренного электрона может быть передана атому.

Модельное описание процессов состоит в следующем. При упругих столкновениях внутреннее состояние атома ртути не меняется, а потому кинетическая энергия электрона не расходуется на его возбуждение. Она может переходить только в кинетическую энергию атома как целого. Но этим процессом можно пренебречь, поскольку масса атома ртути почти в 400000 раз превышает массу электрона. При таком столкновении с атомом электрон меняет только направление своего движения. При этом в балансе энергии столкновения можно не учитывать тепловое движение самого атома, так как средняя энергия такого движения Е ~ (1,5∙1,38∙10^-23∙300 Дж 6,21∙10^-21 Дж) мала по сравнению с энергией, приобретаемой электроном при ускорении в электрическом поле (4,9 эВ = 7,84∙10^-19Дж). Пока кинетическая энергия электрона меньше Е₁ 4,9 эВ, он не может перевести атом ртути в возбуждённое электронное состояние и все столкновения будут упругими. Среди множества упругих столкновений электрона с атомами ртути имеются не только столкновения, в которых электрон изменяет направление первоначального движения, но и столкновения, при которых это направление почти восстанавливается. Если электрон был в состоянии преодолеть задерживающий потенциал между сеткой и коллектором до столкновений, то он сможет сделать то же самое и после нескольких упругих столкновений при условии, что направление его движения осталось прежним. Поэтому, пока столкновения упругие, электронный ток I_а растёт с ростом напряжения U_уск.

Положение меняется, когда энергия электрона достигает значения E₁=4,9 эВ или больше. Тогда электрон сможет затратить свою кинетическую энергию или часть её на возбуждение электронов атома ртути. В этом случае столкновения называются неупругими. Если после столкновения оставшейся кинетической энергии электрона окажется недостаточно, чтобы преодолеть задерживающий потенциал U_зад, то электрон на коллектор L не попадёт, и с ростом напряжения U_уск электронный ток начнёт убывать. При достижении энергии Е₁ ток не падает скачкообразно до нуля, так как скорости электронов неодинаковы. Действительно, при вылете из термокатода у электронов имеет место распределение электронов по скоростям теплового движения в соответствии с законом распределения Максвелла. Кроме того, на электрон, движущийся в задерживающем поле, действует сила (рис.5). Вместе с тем, для преодоления задерживающего поля имеет значение не полная скорость электрона, а только её составляющая вдоль поля; поперечная составляющая не изменяется. При упругих столкновениях электрона в общем случае меняются и продольная, и поперечная составляющие - сохраняется только полная скорость (по модулю).

Всё это ведет к сглаживанию кривой I_а = I_а (U_уск) на рис. 6. Этим же объясняется, почему максимумы на кривой тока получаются не точно при энергии Е₁, достаточной для электронного возбуждения атома, а при энергии, несколько меньшей.

При дальнейшем возрастании ускоряющего напряжения электрон, оставшийся после неупругого столкновения в ускоряющем поле, может вторично набрать энергию, достаточную для возбуждения первого энергетического уровня атома Е₁. Если он снова испытает неупругое столкновение и потеряет энергию, то при достаточно высоком потенциале U₁ он может и в третий раз ускориться до энергии, необходимой для возбуждения того же первого энергетического уровня атома, и т.д. В результате таких многократных возбуждений уровня Е₁ на кривой I_а=I_а(U_уск) и появляются максимумы вблизи значений энергии Е₁, 2Е₁, ЗЕ₁ и т.д. Наличие контактной разности потенциалов между катодом и сеткой искажает показания вольтметра V₁, смещая всю кривую I_а=I_а(U_уск) вправо или влево. Однако контактная разность потенциалов исключается, если величину Е₁ измерять как величину между соседними максимумами тока кривой I_а=I_а(U_уск).

Схема динамики процессов в поле между сеткой S и коллектором L.

- полная скорость электрона; - поперечная скорость; - продольная скорость; - напряжённость задерживающего поля.

Рис.4

Неупругое столкновение с возбуждением первого энергетического уровня Е₁ атомов ртути может и не произойти. Электроны могут продолжать увеличивать свою энергию в электрическом поле, пока она не достигнет значения, достаточного для возбуждения второго энергетического уровня Е₂ атомов ртути, третьего уровня Е₃ и т.д. Ускоряющие напряжения, соответствующие этим уровням энергии, называются потенциалами возбуждения, или критическими потенциалами, или резонансными потенциалами. Таким образом, в принципе на кривой I_а=I_а(U_уск) вблизи критических потенциалов могут появиться новые максимумы. Однако в плотных газах этого фактически не происходит. Дело в том, что для накопления нужной энергии электрон без упругих столкновений должен пройти в ускоряющем энергетическом поле расстояние, большее по сравнению с длиной свободного пробега между двумя последовательными неупругими столкновениями. Это условие в случае плотных газов не выполняется. Возбуждение высших энергетических уровней Е₂, Е₃, ... реализуется при более низком давлении газа и с помощью так называемой "электронной пушки", создающей высокоэнергетический поток электронов.

Опыты Франка и Герца подтверждают также и второй постулат Н. Бора. При ускоряющем напряжении, меньшем первого критического потенциала (~ 4,9 В), пары атомов ртути не излучают. В этом случае в объёме газа нет возбуждённых атомов ртути, а следовательно, и нет переходов в невозбуждённое состояние с испусканием квантов света. При повышении ускоряющего напряжения до 4,9 В появляются первые возбуждённые атомы. При этом наблюдается свечение, состоящее из одной резонансной ультрафиолетовой линии = 253,7 нм. Для наблюдения этого свечения баллон В должен быть сделан из кварцевого стекла или флюорита, прозрачных, соответственно, для 180 и 120 нм.

В этом случае возможно решение обратной задачи: по длине волны

= 253,7 нм, определяемой с помощью спектрографа, вычислить первый резонансный потенциал ртути. При этом результат получается более точным, чем по максимумам на кривой I_а=I_а(U_уск).

Действительно, согласно второму постулату Н. Бора:

, (8)

с другой стороны, на возбуждение атома была затрачена энергия:

(9)

Приравнивая левые части (8) и (9), получим:

, или (10)

Отсюда . (11)

Полагая в (11) = 253,7 нм, найдём U_р1 = 4,887 В, что хорошо согласуется со значением 4,9 В, полученным в опытах Франка и Герца.

При более совершенной методике эксперимента Франка и Герца у атомов ртути обнаруживается второй резонансный потенциал = 6,7 В. В этом случае при переходе атомов ртути в основное состояние появляется излучение с длиной волны = 184,9 нм. Третий резонансный потенциал ртути = 10,4 В является уже ионизационным. То есть при U_уск > 10,4 В происходят переходы из несвязанных, свободных состояний на все нижележащие энергетические уровни. При этом излучается полный атомный спектр ртути.