- •Глава 1. Функции комплексного переменного. Их дифференцируемость и аналитичность
- •§1. Комплексная плоскость
- •§2. Числовые последовательности и ряды.
- •§3. Предел и непрерывность функции. Основные свойства элементарных трансцендентных функций.
- •§4. Дифференцируемость и аналитичность фкп
- •Глава 2. Интеграл от фкп. Ряды тейлора и лорана.
- •§1. Интеграл Коши (от фкп)
- •§2. Теорема Коши (Интегральная)
- •§3. Ряд Лорана
§2. Теорема Коши (Интегральная)
ТЕОРЕМА 1. (Коши) Пусть дана функция , аналитичная в области . .
Тогда интеграл от по любому замкнутому несамопересекающемуся кусочно-гладкому контуру равен 0:
.
Замечание. Такой контур (несамопересекающийся, кусочно-гладкий) будем называть кривой Жордано. (Без доказательства)
ТЕОРЕМА 2. (Обобщённая теорема Коши) Пусть (т. е. аналитичная в и непрерывная в . - Жорданова кривая. Тогда
.
(Без доказательства)
ТЕОРЕМА 3. (Интегральная формула Коши) Пусть аналитична в , где - односвязная область, её граница - кусочно-гладкая Жорданова кривая, . Тогда
(Верхний случай – точка внутри области. Нижний – точка вне области. Доказательство нулевого результата вытекает из теоремы 2. В случае принадлежности точки к границе области ( ) на пути интегрирования попадается сильная неинтегрируемая особенность (В одной из точек придётся делить на 0, невозможно взять интеграл Коши). Этот случай в данном курсе не рассматривается.)
Пример. Вычислить в случаях а) охватывает , но не включает . б) Наоборот в)Охватывает обе точки
Решение. а)По интегральной формуле Коши .
Получим
б)Аналогично
в)Разделим особенности
Можно разбить контур на два более простых (с общей границей) и проинтегрировать по каждому.
Некоторые следствия
ТЕОРЕМА 4. (Ллувилля) Если функция аналитична и ограничена на по модулю на всей комплексной плоскости, то она постоянна.
( )
Доказательство: 1)Сначала оценим интеграл, используя интегральную формулу Коши.
С другой стороны из свойств интеграла получим:
Т. к. , а (это длина окружности), по теореме об интегральном среднем выносим максимум.
2) по свойствам модуля.
, т. е. для произвольных .
§3. Ряд Лорана
Степенные ряды, в том числе ряды Тейлора, на действительной оси и на комплексной плоскости имеют много общего и верны основные результаты:
Для разложения ФКП в ряд Тейлора лучше пользоваться стандартными разложениями.
Наиболее близок к степенному ряду ряд вида
(1)
- ряд Лорана (по степеням или относительно точки ).
ТЕОРЕМА 1. (Лорана) Пусть функция аналитична в кольце . Тогда внутри (т. е. для любой точки разлагается в ряд Лорана
, где
Замечания: 1) В окрестности бесконечно удалённой точки функция разлагается в ряд Лорана по степеням , т. е. функция .
2) В окрестности конечной точки можно выделить .
Здесь первая сумма – главная (иррегулярная) часть ряда Лорана, вторая сумма – правильная (регулярная) часть ряда Лорана. Поведение иррегулярной части тяжело описать аналитически.
По ряду Лорана будем судить об аналитичности функции в точке.
- имеем ошибку деления на 0 в .
3)Относительно точки имеем
,
Где первая сумма – правильная часть ряда, ; вторая сумма – главная часть ряда Лорана, даст особенности на бесконечно удалённой точке.
Упражнение (Пример 2). Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки а) б) , в обоих случаях выделить главную и правильную части.
Решение.
а) . - главная часть, на нуле обращается в .
б) . В обращаются .