- •Типавой расчет №1 (2-0й сем.)
- •1 Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Интегрирование подстановкой
- •2. Интегрирование по частям
- •3. Интегрирование простейших дробей
- •Контрольные варианты к задаче 1.
- •2 Определенный интеграл и его геометрический смысл
- •Контрольные варианты к задаче 2.
- •Контрольные варианты к задаче 3.
- •Вычисление объема тела вращения
- •Контрольные варианты к задаче 4.
2. Интегрирование по частям
Пусть и имеют непрерывные производные на некотором промежутке . Найдем дифференциал производных этих функций: .
Так как по условию функции и непрерывны, можно проинтегрировать обе части этого равенства: , или , но , следовательно,
. (1.3)
Формула (1.3) называется формулой интегрирования по частям.
Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение представляют в виде произведения множителей и ; при этом обязательно входит в . В результате получается, что заданный интеграл находят по частям: сначала находят , а затем . Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахождения указанных интегралов более проста, чем нахождение заданного интеграла.
Пример 1. Найти .
Решение. Положим ; , тогда ; .
По формуле (1.3) находим
.
Рассмотрим некоторые конкретные способы разбиения подынтегрального выражения на множители и .
В интегралах вида , , ,
где многочлен относительно ; некоторое число, полагают , а все остальные сомножители – за .
Пример 2. Найти .
Решение. Положим ; , тогда или , т.к. . Следовательно, оставшиеся сомножители равны . Таким образом, , интегрируя последнее равенство, получим .
По формуле (1.3) находим
В интегралах вида , ,
, , полагают , а остальные сомножители – за и.
Пример 3. Найти .
Решение. Положим ; , тогда ; , откуда
Следовательно,
3. Интегрирование простейших дробей
Рациональной дробью называется функция R(х), представленная в виде
,
где Р (х) и Q (х) – многочлены с действительными коэффициентами.
Рациональная дробь R(x) называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.
Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех типов:
(n > 1 натуральное число);
(n > 1 натуральное число),
где , т. е. корни знаменателя мнимые.
Таким образом, для интегрирования правильных рациональных дробей достаточно уметь: 1) интегрировать простейшие дроби; 2) разлагать рациональные дроби на простейшие.
Пример 1. .
Решение. Заметим, что , т.к. .
Пример 2. .
Решение.
Для интегрирования простейших дробей третьего вида вычисляют, используя замену переменных , откуда ; .
Пример 3. Найти .
Решение. Сделаем замену переменных ; ; ; ; .
Заменив всюду под интегралом на , на , получим
При вычислении воспользовались формулой . Второй из полученных интегралов является табличным, а первый находим подстановкой , откуда ; ; ; . Следовательно,
Задача 1. Вычислить интегралы:
1)
Можно проверить, что интеграл найден верно. Для этого воспользуемся формулой
Ответ: .
2)
Ответ:
3)
Ответ : .
Так находятся интегралы, если есть хотя бы одна нечетная степень и В случае, если имеются только четные степени, интегралы находят с помощью понижения степени по формулам тригонометрии.
4)
Ответ:
5)
Ответ:
6)
Ответ:
7)
Ответ: 2)