4.2. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 1. Если и функция интегрируема на отрезке , то

.

Свойство 2. Если функции и интегрируемы на отрезке , тогда интегрируема на их сумма. Интеграл суммы равен сумме интегралов.

.

Доказательство.

.



Свойство 3.

.

Свойство 4 (свойство аддитивности). Если функция интегрируема на отрезке и , то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка:

,

Свойство 5 (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка , такая, что справедливо равенство

. (4.3)

Доказательство. Пусть . Согласно теореме об ограниченности непрерывной на отрезке функции имеем , где  наименьшее значение функции, а  наибольшее значение функции на отрезке .

Очевидно, что если взять произвольное разбиение отрезка , то справедливы неравенства

.

Перейдем к пределу в неравенствах, если . Тогда получаем

.

Далее

,

откуда

.

Непрерывная на отрезке функция принимает на нем все свои промежуточные значения между и . Поэтому найдется точка , такая, что

,

откуда следует формула (4.3).

Если , то

.



Свойство 5 (теорема о среднем) при имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла, при некотором , равно площади прямоугольника с высотой и основанием . Число

4.3. Формула НьютонаЛейбница

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда она интегрируема и на любом отрезке , где , т.е. для любого имеет смысл интеграл . Рассмотрим функцию

, (4.5)

которая определена на отрезке и называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 4.2. Если функция непрерывна на отрезке , то производная функции существует в каждой точке , причем

.

Надо отметить, что любая функция , непрерывная на отрезке , имеет первообразную, определяемую формулой (4.5).

Теорема 4.3. Если функция непрерывна на отрезке и  какая-нибудь первообразная для на этом отрезке, то справедлива формула НьютонаЛейбница

. (4.6)

Доказательство. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

,

где , на котором непрерывна. Согласно теореме 4.2, .

Пусть  первообразная функции , т.е. . Тогда по теореме 1.1 заключаем, что

.

При получаем

.

Далее

,

или

.

При получаем

.

По свойству о независимости переменных получаем

.



Формулу НьютонаЛейбница (4.6) можно записать в виде

,

где  называется двойной подстановкой от до для функции .

Пример 4.1. Вычислить интеграл:

1) ;

2)

.



4.4. Вычисление определенного интеграла

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула НьютонаЛейбница. Кроме того, при вычислении определенного интеграла используются метод замены переменной и метод интегрирования по частям. Отметим только то, что:

1) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных;

2) при вычислении определенного интеграла методом постановки возвращаться к исходной переменной не требуется.

Рассмотрим на примерах, как используются эти методы при вычислении определенных интегралов.

Пример 4.2. Вычислить интеграл .

Решение. Способ 1.

.

Способ 2. Сначала найдем неопределенный интеграл

Далее находим определенный интеграл:

.



Пример 4.3. Вычислить интеграл .

Решение.

.