5.5. Общее выражение потерь напора на трение при равномерном движении жидкости в трубах

К

Рис. 5.4

асательное напряжение τ в соответствии с (5.13) изменяется в живом сечении потока по линейному закону (рис. 5.4). Оно равно нулю на оси трубы (r=0) и максимально на ее стенке (r=r₀), где , откуда следует, что

, (5.14)

. (5.15)

Выражение (5.15) определяет потери напора при равномерном движении жидкости в круглой трубе.

В гидродинамике касательное напряжение τ₀ связывают со средней скоростью течения :

, (5.16)

где С_f - коэффициент местного трения.

Подставляя в (5.15) вместо τ₀ его выражение из (5.16), получим

. (5.17)

Выражение (5.17) известно в литературе как формула Дарси-Вейсбаха.

Введём понятие коэффициента гидравлического трения и определим его как λ=4C_f. Тогда формулу Дарси-Вейсбаха (5.17) можно написать в виде:

. (5.18)

В формуле (5.18) потери напора по длине связаны с удельной кинетической энергией потока , потерями которой они и являются.

Величина τ₀/ρ имеет размерность квадрата скорости. Обозначив τ₀/ρ=U_*², где U_* - скорость касательного напряжения на стенке (или динамическая скорость), можно, используя (5.16), представить коэффициент гидравлического трения в виде

(5.19)

Рассмотренный подход использован для построения формулы потерь напора на местные сопротивления. Учитывая, что эти потери практически не зависят ни от длины участка трубы, ни от её диаметра, можно написать:

, (5.20)

где ζ_М - безразмерный коэффициент местных потерь; - средняя скорость потока после прохода через местное сопротивление.

Формула (5.20) известна как формула Вейсбаха для местных сопротивлений. К этому виду можно привести и формулу (5.18), если обозначить , то

. (5.21)

5.6. Равномерное ламинарное движение жидкости в круглой цилиндрической трубе Распределение скоростей по сечению круглой трубы

Рассмотрим установившееся равномерное движение жидкости в цилиндрической трубе при ламинарном режиме (рис. 5.5).

Совместив ось скоростей с осью трубы, и приняв нормаль к ней за ось радиуса r, напишем выражения для касательного напряжения в жидкости:

а

Рис. 5.5

) по закону продольного внутреннего трения при прямолинейном движении жидкости (закон Ньютона, Лекция 1)

; (5.22)

б) согласно основному уравнению (5.13) установившегося равномерного движения

. (5.23)

Приравняем правые части (5.22) и (5.23) и разделим переменные:

. (5.24)

Интегрируя (5.24), найдём:

. (5.25)

Используем условие прилипания на стенках: при r=r₀ скорость U=0. Тогда

(5.26)

и уравнение (5.25) примет вид

. (5.27)

Таким образом, изменение скорости в поперечном сечении трубы описывается квадратичной параболой (рис. 5.5). Формула (5.27) выражает закон Стокса.

У стенок трубы (r=r₀) скорость равна нулю, на оси трубы (r=0) - максимальна:

. (5.28)