Примеры задач с решениями

Пример 1.1. Описать с помощью трех основных способов (перечислением элементов, заданием свойств элементов или порождающей функции) множество Х решений алгебраических уравнений:

а) x - 3 / x = 2;

б) cos 4x = 1 (0 ≤ x < 2π );

в) | sin x | = 1.

→ а) x - 3 / x = 2  (x+1) (x-3) = 0  x = -1 x = 3 

• X = {-1,3 }, Х = {x  R  x - 3 / x = 2}.

→ б) cos 4x = 1 (0 ≤ x < 2π)  x = kπ / 2 (k = 0,1,2,3) 

 X = {0, π /2, π, 3/2 π }, X = { x  [0, 2π )  cos 4x =1 },

→ в) | sin x | = 1  sin x = ± 1  X = {± π / 2, ± 3 / 2 π, ±5 / 2 π, …},

X = {x  R  sin x = ± 1 }, X = { (2n+1) π /2 | n Z }.

Пример 1.2. Показать эквивалентность (равномощность) следующих пар множеств X, Y:

а) X = [ 0, 1 ], Y = [ a, b ] ( a < b );

б) X = [-1, 1 ], Y = [ 0, 1 ];

3. в) X = ( 0,+ ∞ ), Y = ( 0, 1 );

г) X = (-1, 1 ), Y = ( - ∞,+ ∞).

→ В соответствии с определением эквивалентности (равномощности) множеств для решения сформулированной задачи достаточно найти (подобрать) функцию f: X ↔ Y, позволяющую установить взаимно однозначное соответствие между элементами множеств X и Y.

Для первых двух пунктов задачи, когда границы числовых множеств конечны, нахождение искомой функции, которая должна быть строго монотонной в своей области определения (множество Х для отображения f: X → Y или множество Y для отображения f: Y → X ), не вызывает затруднений, так как в этом случае искомое отображение (функциональное преобразование) множеств X и Y фактически сводится к их деформации (масштабированию) и сдвигу начала (нижней границы).

Легко убедиться, что для первых двух заданных пар множеств в качестве таких функциональных преобразований можно использовать:

1. y = a + x ( b-a )x, x [ 0,1 ]  x = ( y-a ) / ( b-a); y [ a,b ];

3. б) y = ( x + 1 ) / 2, x [-1, 1 ]  x = 2y - 1; y [ 0, 1 ].

Несколько сложнее обстоит дело для третьего и четвертого пунктов задачи, так как среди границ множеств имеются как конечные, так и бесконечные. В этом случае график преобразующей функции должен иметь вертикальные или горизонтальные асимптоты.

Среди простейших элементарных функций такими свойствами обладают, например, дробно-рациональная, логарифмическая и некоторые тригонометрические (тангенс, арктангенс) функции. Несложно убедиться, что применительно к заданным парам множеств требуемые функциональные преобразования можно осуществить с помощью тригонометрических функций:

в) y = 2 / π arctg x , x ( 0 ,+ ∞ )  x = tg ( πy / 2 ) , y ( 0, 1 );

г) y = tg ( πx / 2 ) , x (-1, 1 )  x = 2 / π arctg y , y (- ∞ ,+ ∞ ).

Пример 1.3. Найти сумму, произведение и разность множеств А, В:

а) A = { a,b,d }, B = { b,c,d,e,h };

б) A = [ 0, 3 ], B = ( 2, 6 );

в) A, B – множества, составленные из элементов последовательностей

{ Xn } = { sin (nπ / 2) }, { Yn } = { cos (nπ / 2) }, ( n є N ) ;

г) A, B – множества, составленные из элементов последовательностей

{ Zn } = { n∙sin (nπ / 2) }, { Wn } = { n∙cos (nπ / 2) }, ( n є N ) .

→ a) A + B = { a,b,c,d,e,h }, AB = { b,d }, A – В = { a }, B – A = { c,e,h }.

→ б) A + B = [ 0,6 ), AB = ( 2,3 ] , A – В = [ 0,2 ], B – A = ( 3,6 ).

→ в) Легко заметить, что для элементов заданных последовательностей {Xn}, {Yn } справедливы равенства

Xn = 0, Yn = 1 при n = 4k (k є N),

Xn = -1, Yn = 0 при n = 4k-1 (k є N),

Xn = 0, Yn = -1 при n = 4k-2 (k є N),

Xn = 1, Yn = 0 при n = 4k-3 (k є N) 

 исходные множества состоят из одних и тех же элементов и равны A = B = { -1,0,1 } 

 A + B = AB = {-1,0,1}, A - B = B - A =  .

→г) Так как по условиям задачи Zn = n ∙Xn, Wn = n ∙Yn , то равенства для элементов последовательностей {Zn}, {Wn} преобразуются к виду

Zn = 0, Wn = n при n = 4k (k є N),

Zn = -n, Wn = 0 при n = 4k-1 (k є N),

Zn = 0, Wn = -n при n = 4k-2 (k є N),

Zn = n, Wn = 0 при n = 4k-3 (k є N) 

 исходные последовательности и соответствующие множества можно описать следующим образом

{Zn} = {1, 0, -3, 0, 5, 0,-7, 0, 9, 0,-11, 0, …},

A = {0, 1,-3, 5,-7, 9,-11, 13,-15, …},

{Wn} = {0,-2, 0, 4, 0,-6, 0, 8, 0,-10, 0, 12, …},

B = {0,-2, 4,-6, 8,-10, 12,-14, …} 

 A + B = {0, 1,-2,-3, 4, 5,-6,-7, 8, 9,-10,-11, 12, 13,-14,-15, …}, AB = {0},

A – B = {1,-3, 5,-7, 9,-11, 13,-15 }, B - A = {-2, 4,-6, 8,-10, 12,-14, 16 }.

Пример 1.4. Исходя из определений теоретико-множественных операций, показать справедливость соотношений, характеризующих связи между различными операциями:

а) , ;

б) , .

→ a) x  x А+ В  х А  х В  х Ā  х .

x  x А∙В  х А  х В  х Ā  х .

→ б) x А \ В  х А  х В  х A  х .

С учетом предыдущего равенства получаем

.

Пример 1.5. Представить в нормальной форме Кантора (разложить на конституенты) множество

D= .

→ Руководствуясь сформулированными правилами разложения на конституенты (построения НКФ), последовательно получим: