3. Определение спектральной плотности случайного процесса по его корреляционной функции

Если известно аналитическое выражение корреляционной функции стационарного случайного процесса, то его спектральную плотность можно получить, произведя преобразование Фурье над корреляционной функцией (5).

Случайный сигнал – помеха задана корреляционной функцией (9). Определим спектральную плотность помехи, сделав преобразование Фурье для корреляционной функции.

. (14)

Для случайного процесса, корреляционная функция которого имеет вид (10), спектральная плотность равна:

.

Данное выражение преобразуем к виду :

. (15)

4. Прохождение стационарного случайного сигнала через линейную систему

Пусть на входе линейной стационарной системы действует стационарный случайный сигнал . На входе системы в установившемся режиме будет также стационарный сигнал . При расчете системы, работающей в режиме случайных сигналов, определяют дисперсию и среднее значение выходного сигнала и ошибки системы.

Стационарная линейная система описывается дифференциальным уравнением вида

, (16)

где - входной сигнал; - выходной сигнал, - постоянные коэффициенты.

Применим операцию преобразования Лапласа к уравнению (13), приняв нулевые начальные условия:

, (17)

где , - изображения Лапласа функций и .

Отношение - называется передаточной функцией системы. Из (17) следует, что

.

Формально передаточную функцию системы (звена) по ее дифференциальному уравнению можно получить не прибегая к преобразованию Лапласа. Для этого достаточно записать дифференциальное уравнение в операторной форме, т. е. Заменить символ дифференцирования оператором дифференцирования , а затем найти отношение выходной величины к входной. При этом получается выражение, совпадающее с передаточной функцией с точностью до обозначения . В передаточной функции - оператор преобразова­ния Лапласа, во втором случае - оператор дифференцирования.

При подстановке в передаточную функцию получим комплексную передаточную функцию, представляющую собой отношение изображения Фурье выходного сигнала к изображению Фурье входного сигнала системы:

, (18)

где , .

Из (17) следует:

.

Возьмем модули левой и правой частей последнего выражения, возведем их в квадрат, разделим на и перейдем к пределу при :

.

Откуда следует:

или

. (19)

При известной передаточной функции системы и известной спектральной плотности стационарного случайного сигнала , действующего на входе системы, по (19) можно найти спектральную плотность стационарного случайного сигнала на выходе системы. Если в (19) вместо комплексной передаточной функции, связы­вающей входной сигнал с выходным, подставить комплексную передаточную функцию, которая связывает входной сигнал с ошибкой системы, то можно определить спектральную плотность ошибки системы.

Дисперсия сигнала может быть определена как разность между средним квадратом и квадратом среднего:

.

Если постоянная составляющая сигнала равна нулю, то

.

Подставляя (19) в (4) получим

. (20)

Подынтегральное выражение в формуле (20) должно быть приведено к виду , где и представляют собой полиномы от комплексной переменной . Обозначим наивысшую степень знаменателя через . Наивысшая степень числителя для реальных систем может быть не более . Для интегрирования по (20) подынтегральное выражение представляют в следующей форме:

, (21)

откуда

. (22)

Интегралы для различных значений (степень полинома ) приведены в справочниках и учебниках по теории автоматического управления. Значения для от 1 до 5 приведены в прил. 1.

Математическое ожидание стационарного случайного сигнала на выходе линейной стационарной системы с передаточной функцией связано с математическим ожиданием стационарного случайного сигнала на входе системы следующей формулой:

, где при .