1.5. Аналіз функціонування сар

Задачею аналізу функціонування є порівняння результатів роботи об'єктів до введення системи в дію і при наявності системи ( відповідно 1-й і 2-й варіанти ).

Як правило, САР стабілізує на заданому значенні регульований параметр. Стабілізація відбувається з деякою похибкою, яка носить випадковий характер.

Необхідно проаналізувати розподіл математичного чекання регульованої величини для 1-го і 2-го випадку і порівняти їх. Аналіз виконується методом математичної статистики. Особливістю аналізу є необхідність враховувати той факт, що в 1-м і в 2-м випадках ми маємо справу не з генеральною сукупністю значень регульованого параметра, а з якоюсь вибіркою. Тобто в обох випадках число спостережень обмежене, тому математичне чекання оцінюється з якоюсь похибкою. Різниця між математичними чеканнями в 1-м і в 2-м випадках повинна з заданою вірогідністю перевершувати зазначені погрішності.

Нижче викладається один з методів математичної статистики - перевірка статистичних гіпотез за допомогою критерію Стьюдента ( t-статистики ). Припускаємо, що в обох випадках погрішності виміру і регулювання розподілені по нормальному закону.

1.5.1 Скласти для кожного з двох випадків наступні таблиці:

Зміна	Дата	Показання xi	ï xi - x ½	(xi - x)^2
1	2	3	4	5

В стовпчик 1 вписати номер зміни, за результатами якої проводився аналіз. В стовпчик 2 - дату. В стовпчику 3 вказати значення критерію керування. Стовпчики 4 і 5 є розрахунковими на основі даних стовпчика 3.

_

Х - оцінка математичного чекання ( середнє арифметичне ),

;

де n - число спостережень ( число позицій в стовпчику 1 ).

Оцінка середньоквадратичної похибки ( СКП ) вимірювання дорівнює

S = ;

Використання під знаком радикала співмножника 1/n-1 замість 1/n дозволяє одержати незміщену оцінку СКП.

Оцінка СКП спостереження визначається за формулою:

s =

СКП спостереження визначає похибку розрахунку вибіркового середнього, тобто похибку оцінки математичного чекання за даними короткої вибірки.

Розраховуємо t-статистику:

, Між середніми двох вибірок

де m, m - середні арифметичні 1-ої і 2-ої вибірки;

n1,n2 - обсяг 1-ої і 2-ої вибірки.

Приймається початково нульова гіпотеза, тобто немає розходжень між цими двома вибірками (різниця між математичними очікуваннями носять випадковий характер і вкладається в похибку оцінки вибіркових середніх m і m) .

Далі необхідно проаналізувати, приймається чи відкидається нульова гіпотеза. Такий аналіз здійснюється за наступною таблицею:

Рівень значущості	Число ступенів свободи 1 2 5 10 15 20 30 >30
95%	13 4 2.6 2.2 2.1 2.1 2.0 2.0
99%	64 10 4.0 3.2 2.9 2.8 2.7 2.6
99.9%	64 32 6.9 4.6 4.1 3.8 3.6 3.3

За цією таблицею для заданого k (ступеня свободи) і заданого рівня значущості визначається t-статистика. Якщо t³t* (t- робоча статистика; t*- таблична статистика), тоді нульова гіпотеза відкидається, тобто існує статистично достовірне розходження між цими двома вибірками тобто, незважаючи на малі обсяги вибірок, ми можемо з заданим рівнем значущості стверджувати, що розходження цих двох оцінок невипадкові. Таким чином, якщо нульова гіпотеза відкидається , можна стверджувати, що САР поліпшує якість роботи об'єкта.

Випадок, коли k>30, є тривіальним, так як такий обсяг вибірки дає дані, які цілковито співпадають з вихідною генеральною сукупністю, з якої і були взяті ці вибірки.

Критерій Стьюдента використовують якщо оцінки математичного очікування вибірок є різними.

Якщо оцінки математичного очікування вибірки є однаковими і вибірки відрізняються тільки дисперсіями використовують критерій Фішера.

Критерій Фішера F для 2-х і більше вибірок.

.

Якщо нуль – гіпотеза істина, то F=1 (нема розбіжностей) .

Якщо

Ступені вільності для чисельника 2; для знаменника .