Тема 2. Выпуклое программирование
2.1 Выпуклые множества и функции
5.2.
Пусть
— выпуклое множество, A
— матрица размера
,
R.
Показать, что следующие множества
выпуклы:
а)
;
б)
.
5.3. Пусть
,
.
Описать множества
,
.
5.4. Доказать
выпуклость следующих множеств в R2:
X=
;
5.17. Найти минимальное значение параметра с, при котором множество
выпукло (числа a, b заданы в табл. 5.1).
Таблица 5.1
Варианты |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
a |
2 |
1 |
4 |
5 |
3 |
1 |
5 |
3 |
4 |
2 |
b |
|
5 |
|
|
|
6 |
4 |
8 |
3 |
1
|
Варианты |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
a |
2 |
1 |
3 |
5 |
4 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
b |
|
9 |
10 |
11 |
4 |
3 |
5 |
7 |
10 |
6 |
5.20. Записать
уравнение гиперплоскости, строго
отделяющей точку
(3;
2; 1; 1) от множества X,
которое задается системой неравенств
где числа a, b, c заданы в табл. 5.3.
Таблица 5.3
Варианты |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
a |
6 |
3 |
1 |
1 |
6 |
3 |
3 |
1 |
7 |
8 |
b |
1 |
6 |
1 |
4 |
0 |
0 |
2 |
4 |
1 |
0 |
с
|
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
4 |
4 |
0 |
1 |
1 |
Варианты |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
a |
2 |
2 |
3 |
2 |
7 |
4 |
9 |
4 |
2 |
8 |
b |
5 |
1 |
6 |
2 |
2 |
0 |
1 |
7 |
5 |
2 |
с
|
0 |
3 |
1 |
3 |
1 |
5 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Варианты |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
a |
10 |
1 |
7 |
6 |
6 |
3 |
6 |
9 |
8 |
10 |
b |
1 |
3 |
2 |
0 |
4 |
6 |
3 |
4 |
7 |
4 |
с |
1 |
2 |
1 |
5 |
8 |
0 |
1 |
6 |
11 |
8 |
5.21. Записать
уравнение гиперплоскости, опорной к
множеству X=
в точке
=
,
координаты которой заданы в табл. 5.4.
Если точка
X,
то выписать уравнение отделяющей
гиперплоскости.
Таблица 5.4
Вари-анты |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
6/5 |
8/5 |
0 |
6/5 |
0 |
8/5 |
0 |
6/5 |
8/5 |
0 |
|
12/5 |
0 |
9/5 |
0 |
12/5 |
9/5 |
9/5 |
12/5 |
0 |
9/5 |
|
0 |
3 |
4 |
4 |
3 |
0 |
4 |
0 |
3 |
4 |
Вари-анты |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
0 |
6/5 |
8/5 |
0 |
8/5 |
6/5 |
0 |
6/5 |
8/5 |
0 |
|
9/5 |
0 |
9/5 |
12/5 |
0 |
12/5 |
12/5 |
0 |
9/5 |
12/5 |
|
4 |
4 |
0 |
3 |
3 |
0 |
3 |
4 |
0 |
3 |
Вари-анты |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
|
|
0 |
1 |
8/5 |
6/5 |
0 |
6/5 |
3/2 |
3/2 |
|
0 |
0 |
2 |
|
0 |
0 |
12/5 |
12/5 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
3 |
4 |
3 |
0 |
|
|
5.22. Выписать
уравнение гиперплоскости, опорной к
множеству X
и
отделяющей его от точки
,
координаты которой заданы в табл. 5.5.
Таблица 5.5 |
||||||||||
Варианты |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
5/4 |
4/3 |
5/3 |
5/4 |
5/3 |
3/2 |
3/2 |
5/4 |
10/9 |
13/9 |
|
5/16 |
2/3 |
5/9 |
15/16 |
10/9 |
3/2 |
3/8 |
5/8 |
10/27 |
26/27 |
|
15/16 |
13/12 |
7/9 |
23/16 |
10/9 |
7/4 |
13/16 |
9/8 |
19/18 |
11/9 |
Вари-анты |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
1/2 |
1/3 |
2 |
2 |
4 |
5/4 |
3 |
4 |
0 |
4/5 |
|
1/2 |
2/3 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
0 |
3 |
1/5 |
|
1/2 |
3/9 |
1 |
2 |
5 |
1 |
3 |
2 |
5 |
12/25 |
Варианты |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
9/8 |
5/4 |
9/8 |
4/3 |
5/3 |
11/9 |
7/5 |
3/2 |
4/3 |
11/9 |
|
27/32 |
5/4 |
9/32 |
4/9 |
5/6 |
22/27 |
14/25 |
3/4 |
8/9 |
11/27 |
|
3/2 |
15/8 |
1 |
17/18 |
11/12 |
4/3 |
24/25 |
1 |
23/18 |
1 |
5.23. Записать
уравнение гиперплоскости, разделяющей
множества
,
(числа a,
b,
c
заданы в
табл. 5.6).
Таблица 5.6
Варианты |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
a |
1/9 |
4 |
1/4 |
25 |
1/9 |
25 |
25 |
1/4 |
1/9 |
9 |
b |
2/3 |
1 |
1 |
12 |
16/3 |
18 |
9 |
9/2 |
8/3 |
2 |
с
|
8/3 |
9 |
9/4 |
3 |
1/3 |
2 |
4 |
1/2 |
2/3 |
8 |
Варианты |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
a |
1/4 |
25 |
9/4 |
9 |
25 |
1/4 |
1/9 |
25 |
9/4 |
1 |
b |
1/2 |
2 |
5 |
8 |
3 |
9/4 |
1/3 |
4 |
5/4 |
4 |
c |
9/2
|
18 |
5/4 |
2 |
12 |
1 |
16/3 |
9 |
5 |
1 |
Варианты |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
a |
5 |
9 |
16 |
3/4 |
10 |
7 |
21/20 |
1 |
3/2 |
7/4 |
b |
4 |
1 |
1 |
1/4 |
5 |
2 |
3/2 |
3 |
1 |
3 |
c |
1
|
3 |
5 |
3 |
2 |
3 |
2/3 |
1/4 |
1/2 |
1/4 |
5.26. Проверить, является ли функция f выпуклой (вогнутой) на заданном множестве X, или указать такие точки из X, в окрестности которых f не является ни выпуклой, ни вогнутой:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
X =
R3;
6.
;
7.
X = R3;
8.
X = R3;
9.
X = R3;
10.
;
11.
X = R3;
12.
X = R3;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
X = R3;
17.
;
18.
X = R3;
19.
;
20.
X = R3;
21.
X = R3;
22.
;
23.
X = R3;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
X = R3;
29.
X = R3;
30.
;
31.
X = R2;
32.
X = R2;
33.
X = R2;
34.
;
35.
;
36.
;
37.
;
38.
;
39.
;
40.
;
41.
;
42.
;
43.
;
44.
;
45.
;
46.
;
47.
;
48.
;
49.
;
50.
;
51.
;
52.
;
53.
;
54.
.