Задача №7.

Проанализируйте данные о строительстве квартир в Российской федерации.

Кем построены квартиры	Построено квартир, тысяч		Средняя площадь 1-ой построенной квартиры, кв. м
	1998	2001	1998	2001
	К0	К1	S0	S1
ЖСК	13	10	61,9	67,5
Населением за свой счёт и с помощью кредитов	104	108	116,3	120,4
Итого	117	118	ХХХ	ХХХ
Средняя	ХХХ	ХХХ	?	?

Задание:

1. Рассчитайте среднюю площадь 1-ой построенной квартиры.

2. Рассчитайте общий индекс средней площади 1-ой построенной квартиры (индекс переменного состава).

3. Рассчитайте индекс собственно площади 1-ой построенной квартиры (индекс постоянного состава).

4. Рассчитайте индекс структурных сдвигов.

Представьте полученные результаты в виде системы и проанализируйте их.

Решение:

Рассчитаем среднюю площадь 1-ой построенной квартиры:

.

Расчет представим в таблице.

Кем построены квартиры	Построено квартир, тысяч		Средняя площадь 1-ой построенной квартиры, кв. м
	1998	2001	1998	2001
	К0	К1	S0	S1
ЖСК	13	10	61,9	67,5
Населением за свой счёт и с помощью кредитов	104	108	116,3	120,4
Итого	117	118	ХХХ	ХХХ
Средняя	ХХХ	ХХХ	110,3	115,9

Общий индекс средней площади 1-ой построенной квартиры определим по формуле:

.

Рассчитаем индекс собственно площади 1-ой построенной квартиры (индекс постоянного состава):

Рассчитаем индекс структурных сдвигов:

Представим полученные результаты в виде системы:

.

Из вычеслений можно сделать выыод, что средняя площадь 1-ой построенной квартиры выросла в 1,051 раза, в том числе за счет изменения площади 1-ой построенной квартиры – в 1,038 раза, и за счет структурных сдвигов– в 1,013 раза.

Задача №8а.

Приводятся данные по территориям Южного федерального округа РФ

Территории федерального округа	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X
1. Респ. Адыгея	5,1	1,264
2. Респ. Дагестан	13,0	3,344
3. Респ. Ингушетия	2,0	0,930
4. Кабардино-Балкарская Респ.	10,5	2,382
5. Респ. Калмыкия	2,1	6,689
6. Карачаево-Черкесская Респ.	4,3	0,610
7. Респ. Северная Осетия – Алания	7,6	1,600
8. Краснодарский край^1)	109,1	52,773
9. Ставропольский край	43,4	15,104
10. Астраханская обл.	18,9	12,633
11. Волгоградская обл.	50,0	10,936
12. Ростовская обл.	69,0	20,014
Итого, 	225,9	75,506
Средняя	20,536	6,8642
Среднее квадратическое отклонение, 	21,852	6,4427
Дисперсия, D	477,50	41,5079

¹⁾ Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

Задание:

1. Расположите территории по возрастанию фактора -X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры и парной линейной функции , оцените силу связи через общий коэффициент эластичности - и тесноту связи – через коэффициенты корреляции ( ) и детерминации ( ); проанализируйте полученные результаты.

4. По уравнению регрессии определите расчётные значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

Решение:

Предварительное представление об изучаемой связи даёт исходное множество территорий, ранжированное по значению фактора –X, а также график зависимости результата –Y от фактора –X. Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . По графику сделаем вывод о наличии линейной связи результата –Y с фактором –X. См. табл.:

Территории федерального округа	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X
6. Карачаево-Черкесская Респ.	4,3	0,61
3. Респ. Ингушетия	2	0,93
1. Респ. Адыгея	5,1	1,264
7. Респ. Северная Осетия – Алания	7,6	1,6
4. Кабардино-Балкарская Респ.	10,5	2,382
2. Респ. Дагестан	13	3,344
5. Респ. Калмыкия	2,1	6,689
11. Волгоградская обл.	50	10,936
10. Астраханская обл.	18,9	12,633
9. Ставропольский край	43,4	15,104
12. Ростовская обл.	69	20,014
Итого, 	225,9	75,506
Средняя	20,536	6,8642
Среднее квадратическое отклонение, 	21,852	6,4427
Дисперсия, D	477,5	41,5079

Для отображения линейной формы связи переменных построим уравнения прямой: . Расчёт неизвестных параметров и выполняется методом наименьших квадратов (МНК), решая систему нормальных уравнений с использованием определителей второго порядка Δ, Δа₀ и Δа_1. Расчётные процедуры оформляются в разработочной таблице. См. табл.:

№
А	1	2	3	4	5	6	8
1	0,61	4,3	0,37	2,62	1,67	2,63	12,8
2	0,93	2	0,86	1,86	2,64	-0,64	3,1
3	1,264	5,1	1,60	6,45	3,65	1,45	7,1
4	1,6	7,6	2,56	12,16	4,66	2,94	14,3
5	2,382	10,5	5,67	25,01	7,02	3,48	17,0
6	3,344	13	11,18	43,47	9,92	3,08	15,0
7	6,689	2,1	44,74	14,05	20,01	-17,91	87,2
8	10,936	50	119,60	546,80	32,82	17,18	83,7
9	12,633	18,9	159,59	238,76	37,93	-19,03	92,7
10	15,104	43,4	228,13	655,51	45,39	-1,99	9,7
11	20,014	69	400,56	1380,97	60,20	8,80	42,9
Итого	75,506	225,9	974,87	2927,66	225,9	0	385,4
Средняя	6,8642	20,536	—	—	—	—	35,0
Сигма	6,4427	21,852	—	—	—	—	—
Дисперсия, D	41,5079	477,5	—	—	—	—	—
Δ=	5022,45	—	—	—	—	—	—
Δа0=	-832,17		-0,166	—	—	—	—
Δа1=	15147,48		3,016	—	—	—	—

Расчёт определителей выполняется по следующим формулам:

Определитель системы 11*974,87 – 75,506*75,506 = 5022,45;

Определитель свободного члена уравнения

= 225,9*947,87 – 2927,66*75,506 = -832,17.

Определитель коэффициента регрессии:

= 11*2927,66 – 225,9*75,506 = 15147,48.

Параметры уравнения регрессии имеют следующие значения:

; .

Теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

Коэффициент регрессии а₁ = 3,016 означает, что при увеличении инвестиций в основной капитал на 1 млрд. руб. (от своей средней) валовой региональный продукт возрастёт на 3,016 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения а₀ = -0,166 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на валовой региональный продукт.

Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности: . В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду: Это означает, что при изменении инвестиций в основной капитал на 1% от своей средней валовой региональный продукт увеличивается на 1,008 процента от своей средней.

Оценку тесноты связи дают линейный коэффициент парной корреляции и детерминации:

;

Коэффициент корреляции, величина которого больше 0 и составляет 0,889, показывает, что выявлена прямо пропорциональная, весьма тесная зависимость между общей суммой инвестиций в основной капитал и валовым региональным продуктом. Коэффициент детерминации, равный 0,791, устанавливает, что вариация регионального продукта на 79,1% (из 100%) предопределена вариацией инвестиций в основной капитал; роль прочих факторов, влияющих на региональный продукт, определяется в 20,9%, что является сравнительно небольшой величиной.

Для определения расчётных значений результата подставим в полученное уравнение фактические значения фактора X. Например, . См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений . и X_факт. строим теоретическую линию регрессии, которая обязательно пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график.

Оценку качества модели даёт скорректированная средняя ошибки аппроксимации:

.

В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 35%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов.