8. Расчет средних величин с помощью распределения Ферми-Дирака.

Функция распределения Ферми-Дирака для электронного газа в металлах

, где .

При T = 0 K (эту формулу можно применять и при T = T _комн 300 K с точностью до ~ 1 %).

Вычисление средних значений:

. (8.1)

При Т = 0 К приближенный расчет становится точным, так как все электроны в зоне проводимости металла будут располагаться ниже уровня Ферми.

Задача 13

Распределение Ферми-Дирака для электронного газа в металлах при температуре Т = 0 К задается формулой: . Энергия Ферми некоторого металла равна = 4 эВ. Для свободных электронов из зоны проводимости проводника при Т = 0 К найти .

Решение:

В данной задача . Подставляем эту функцию в формулу (8.1) и рссчитываем :

Ответ: 2,510^–165Дж⁹

8-1. Распределение Ферми-Дирака для электронного газа в металлах при температуре Т = 0 К задается формулой: . Энергия Ферми некоторого металла равна = 4 эВ. Для свободных электронов из зоны проводимости проводника при Т = 0 К найти

а) ; б) ; б) ; г)

Ответы:

а) 1,7610^–37 Дж²; б) 8,7410^–56 Дж³; в) 4,5810^–74 Дж⁴; г) 2,4810^–92 Дж⁵

8-2. По условию 8-1 найти среднее значение энергии в любой степени.

8-3. Распределение Ферми-Дирака для электронного газа в металлах при температуре Т = 0 К задается формулой: . Для свободных электронов из зоны проводимости проводника при Т = 0 К найти

а) ; б) ; в) ; г)

Ответы: а) 1,19; б) 1,48; в) 1,07; г) 3

9. Закон радиоактивного распада.

При радиоактивном распаде уменьшение количества ядер в образце за небольшой промежуток времени пропорционально количеству атомов и этому промежутку времени: . Интегрируя это выражение, приходим к закону радиоактивного распада:

, (9.1)

где  – постоянная распада.

Из формулы (9.1) следует, что число ядер, распавшихся в промежуток времени от до равно

. (9.2)

Периодом полураспада называется время, за которое распадается половина первоначального количества радиоактивных ядер. Используя формулу (9.1), можно показать, что .

Среднее время жизни ядра можно рассчитать по формуле

(9.3)

Задача 14

Радиоактивный образец поместили в герметичный сосуд. Найти среднее время жизни ядер этого образца, если через время = 1 мин распадается 30% от первоначального количества этих ядер?

Решение:

Если распадается 30% ядер, то в образце остается 70% ядер, т.е.

. (9.4)

Подставляя постоянную распада, найденную из формулы (9.4), в формулу (9.3), найдем среднее время жизни:

Ответ: 168 c = 2,8 мин;

9-1. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Период полураспада этого изотопа равен Т. Сколько ядер образца распадется за промежуток времени от до ? N = 6,410²⁰; = 1 мин; = 3 мин; Т = 2 мин.

Ответ: 2,2610²⁰

9-2. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Период полураспада этого изотопа равен Т. N = 6,410²⁰; = 1 мин; Т = 2 мин.

а) Сколько ядер образца распадется к моменту времени ?

б) Сколько ядер образца останется к моменту времени ?

Ответы: а) 1,8710²⁰; б) 4,5310²⁰

9-3. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Постоянная распада этого изотопа равена . N = 6,410²⁰; = 1 мин;  = 0,03 с^–1.

а) Сколько ядер образца останется к моменту времени ?

б) Сколько ядер образца распадется к моменту времени ?

Ответы: а) 1,0610²⁰; б) 5,3410²⁰

9-4. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Постоянная распада этого изотопа равена l. Сколько ядер образца распадется за промежуток времени от до ? N = 6,410²⁰; = 1 мин; = 3 мин;  = 0,03 c^–1.

Ответ: 1,0310²⁰

9-5. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Среднее время жизни этого изотопа равно . Сколько ядер образца распадется за промежуток времени от до ? N = 6,410²⁰; = 1 мин; = 3 мин;  = 2 мин.

Ответ: 2,4510²⁰

9-6. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Среднее время жизни этого изотопа равно t. N = 6,410²⁰; = 1 мин;  = 2 мин.

а) Сколько ядер образца распадется к моменту времени ?

б) Сколько ядер образца останется к моменту времени ?

Ответы: а) 2,5210²⁰; б) 3,8810²⁰

9-7. Концентрация ядер одного изотопа с периодом полураспада Т₁ в k раз превышала концентрацию ядер другого изотопа с периодом полураспада Т₂. Через какой промежуток времени

а) концентрация ядер этих изотопов станут равными?

б) концентрация ядер первого изотопа станет в k раз меньше концентрации ядер второго изотопа?

k = 2; Т₁ = 3 мин; Т₂ = 5 мин.

Ответы: а) 450 c = 7,5 мин; б) 15мин=900 с

9-8. Концентрация ядер одного изотопа с постоянной распада ₁ в k раз превышала концентрацию ядер другого изотопа с периодом полураспада Т₂. Через какой промежуток времени

а) концентрация ядер этих изотопов станут равными?

б) концентрация ядер первого изотопа станет в k раз меньше концентрации ядер второго изотопа?

k = 2; ₁ = 0,005 с^–1; Т₂ = 5 мин.

Ответы: а) 258 с; б) 515 с

9-9. Энергетический выход реакции деления ядра некоторого нестабильного изотопа Е_В. Сколько тепла (в Дж) выделилось за время t, если первоначальное число ядер этого изотопа N₀, а период полураспада равен Т. Е_В = 100 МэВ; N₀ = 2,510¹⁰; Т = 2 мин; t = 5 мин.

Ответ: 0,329 Дж

9-10. Энергетический выход реакции деления ядра некоторого нестабильного изотопа Е_В. Сколько тепла (в Дж) выделилось за время t, если первоначальное число ядер этого изотопа N₀, а постоянная распада равна . Е_В = 100 МэВ; N₀ = 2,510¹⁰;  = 0,08 с^–1; t = 2 мин.

Ответ: 0,400 Дж

9-11. Энергетический выход реакции деления ядра некоторого нестабильного изотопа Е_В. Сколько тепла (в Дж) выделилось за время t, если первоначальное число ядер этого изотопа N₀, а среднее время жизни ядра равно . Е_В = 100 МэВ; N₀ = 2,510¹⁰;  = 5 мин; t = 2 мин.

Ответ: 0,132 Дж

9-12. При распаде ядер радиоактивного изотопа выделилось Q тепла за время t. Первоначальное число ядер этого изотопа N₀, а среднее время жизни ядра равно . Найти энергетический выход (в МэВ) реакции деления одного ядра. Q = 0,2 Дж; N₀ = 2,510¹⁰;  = 5 мин; t = 2 мин.

Ответ: 152 МэВ

9-13. При распаде ядер радиоактивного изотопа выделилось Q тепла за время t. Первоначальное число ядер этого изотопа N₀, а период полураспада равен Т. Найти энергетический выход (в МэВ) реакции деления одного ядра. Q = 0,2 Дж; N₀ = 2,510¹⁰; Т = 2 мин; t = 5 мин.

Ответ: 60,7 МэВ

9-14. При распаде ядер радиоактивного изотопа выделилось Q тепла за время t. Первоначальное число ядер этого изотопа N₀, а постоянная распада равна . Найти энергетический выход (в МэВ) реакции деления одного ядра. Q = 0,2 Дж; N₀ = 2,510¹⁰;  = 0,05 с^–1; t = 2 мин.

Ответ: 50,1 МэВ

9-15. При распаде ядер радиоактивного изотопа выделилось Q тепла за время t. Первоначальное число ядер этого изотопа N₀, энергетический выход реакции деления одного ядра Е_В. Найти период полураспада ядер этого изотопа (в мин). Q = 0,2 Дж; Е_В = 100 МэВ; N₀ = 2,510¹⁰; t = 2 мин.

Ответ: 2 мин

9-16. Радиоактивный образец, содержащий изотоп с периодом полураспада Т, поместили в герметичный сосуд. Сколько процентов ядер образца

а) распадется за промежуток времени от до ?

б) останетсячерез время ?

= 1 мин; = 3 мин; Т = 2 мин.

Ответы: а) 35,4%; б) 70,7 %

9-17. Радиоактивный образец, содержащий изотоп с периодом полураспада Т, поместили в герметичный сосуд. Через какое время в образце останется 30% радиоактивных ядер этого изотопа? Т = 2 мин.

Ответ: 208 с=3,47 мин

9-18. Радиоактивный образец, содержащий изотоп с периодом полураспада Т, поместили в герметичный сосуд. Через какое время распадется 30% радиоактивных ядер этого изотопа? Т = 2 мин.

Ответ: 61,7 с=1,03 мин

9-19. Радиоактивный образец поместили в герметичный сосуд. Найти период полураспада ядер этого образца, если через время = 1 мин.

а) распадается 30% от первоначального количества этих ядер?

б) останется 30% от первоначального количества этих ядер?

Ответы: а) 117 с=1,94 мин; б) 34,5 с=0,576 мин

9-20. Радиоактивный образец поместили в герметичный сосуд. Найти постоянную распада ядер этого образца, если через время = 1 мин.

а) распадается 30% от первоначального количества этих ядер?

б) останется 30% от первоначального количества этих ядер?

Ответы: а) 0,00594 с^–1; б) 0,0201 с^–1

9-21. Радиоактивный образец поместили в герметичный сосуд. Найти среднее время жизни ядер этого образца, если через время = 1 мин останется 30% от первоначального количества этих ядер?

Ответ: 49,8 с=0,83 мин