Уравнения движения информационных образов и их отображение в действительном пространстве

Итак, мы показали, что движение живых систем определяется, в основном, движением их образов в информационном пространстве.

Движение информационных образцов подчиняется законам Ньютона, распространенных на информационное пространство

(3.1.26)

где

m- коэффициент инерционности информационного образа

- ускорение информационного образа

F- сила, действующая на информационный образ, причем

(3.1.27)

где

Q- потенциальная энергия информационного пространства.

В случае, если у нас есть одна популяция, потенциальная энергия информационного пространства имеет вид:

(3.1.28)

Где

А-постоянная, аналог постоянной силы

q-образ популяции в информационном пространстве.

Решение уравнения (26) в этом случае имеет вид

(3.1.29)

В случае наличия отношений типа «хищник-жертва», потенциальная энергия будет иметь вид

(3.1.30)

где

С_ij - постоянные коэффициенты, характеризующие информационную жесткость связей.

Тогда система определяющих уравнений для информационных образов будет иметь вид

(3.1.31)

с начальными условиями

(3.1.32)

где:

- координата и скорость j-того образа в начальный момент времени.

Решение системы уравнений (5) записывается в виде

(3.1.33)

В случае, если существует запаздывание отклика, т.е. система реагирует не на то усилие, которое приложено сейчас, а на то, которое будет, систему определяющих уравнений можно рассматривать как систему с демпфированием.

Действительно, если у нас есть уравнение вида

(3.1.34)

то, в случае малости постоянной времени , мы можем разложить функцию в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения. Тогда уравнение (31) запишется в виде

(3.1.35)

Обозначая:

(3.1.36)

перепишем систему (10) в виде

(3.1.37)

Решение данной системы, в случае, если n<p представим в виде

(3.1.38)

Как видим, это колебание, амплитуда которых уменьшается.

Заметим, что в случае, если на систему действуют, скажем так, силы из прошлого, т.е. постоянная времени , то колебания будут происходить c экспоненциально растущей амплитудой.

Графики данных функции приведены в приложении.

Следует отметить, что на систему также могут действовать и возбуждающие силы, характер которых пока не ясен, поэтому мы не будем их пока рассматривать.

После того, как определены зависимости изменения информационных образцов от времени, мы можем приступать к нахождению интересующих нас параметров. Определяющее уравнение, как мы писали раньше, записывается в виде

(3.1.39)

с начальными условиями

г де

- параметры, характеризующие систему;

Очевидно, что должны быть пропорциональны количеству частичек, которые система может соответственно поглотить или потерять.

В случае, если система состоит из одной популяции, мы можем записать

(3.1.40)

С мысл параметра А вытекает из сказанного выше, а функция, стоящая в экспоненте, определена соотношением (4). Кроме того, принято, что

В случае наличия отношений типа «хищник-жертва» система уравнений (14) запишется в виде

(3.1.41)

где

-найденные ранее функции времени, характеризующие движение образов в информационном пространстве.

Вводя обозначения:

(3.1.42)

систему (16) можно переписать в более привычной для математиков форме

(3.1.43)

Это есть не что иное, как неоднородные уравнения Фредгольма второго рода, решения которых

(3.1.44)

где

- резольвентное ядро, которое можно определить, например, по формулам Фредгольма

для к=1,2 и далее

(3.1.45)

Заметим, что систему уравнений (41) гораздо удобней решать как задачу Коши с помощью численных методов, например, с помощью конечных разностей. Данный метод был реализован в программе «maxvespog», которая приведена в приложении. Единственное, что здесь нужно учесть – необходимость очень малого временного шага. Так, при проверке опытных данных, интервал в 250 дней был разбит на 6000 отрезков, т.е. временной шаг был равен одному часу.

Следует также отметить, что во второе уравнение системы (42) не входит функция X₁(t), что и позволило нам записать данную систему в известной форме. Следовательно, возможно построение более длинных последовательностей, которые бы описывали цепочки питания для биологических систем.