Решение типовых примеров

Пример 6. Полый железный шар ( , внутренний радиус которого 6 см, а внешний 10 см, находится в стационарном тепловом состоянии, причем температура на внутренней его поверхности 200 °С, а на внешней 20 °С. Найти температуру на расстоянии r (6 см < r < 10 см) от центра шара и количество теплоты, которое шар отдает в окружающую среду за 1 с.

Решение. Температура тела на поверхности А, представляющей собой сферу радиусом r, где 6 см < r < 10 см, зависит только от r, Т=Т(r). Площадь поверхности А равна 4 r². Количество теплоты, проходящее через поверхность А, определяется законом Ньютона

Поскольку источников теплоты между поверхностями шара нет, приходим к следующему выводу: через поверхность А для любого r проходит одно и то же количество теплоты, т. е. Q = const. Интегрируя записанное выше уравнение, получаем 4 Подставляя сюда Т= С, и , находим: С=-1000 , Q=10800 , Т=2700/r — 250. Тогда Q = 108 = 19892,77 Дж/с.

Примеры для самостоятельного решения

12.4.1. Паропроводная труба диаметром 20 см защищена слоем магнезии толщиной 10 см. Теплопроводность магнезии . Допустив, что температура трубы 160° С, а внешней поверхности слоя магнезии 30 °С, найти распределение температуры внутри покрытия, а также количество теплоты, отдаваемое трубой в окружающую среду в течение суток на протяжении трубы в 1 м.

12.4.2. Толщина кирпичной стены 30 см; . Установить, как зависит температура от расстояния от точки до наружного края стены, если температура равна 20 °С на внутренней и 0°С на внешней поверхности стены. Найти также количество теплоты, которое стена площадью 1 м² отдает в окружающую среду в течение суток.

12.4.3. Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20°С и тело в течение 20 мин охлаждается от 100 до 60°С, то через какое время температура его понизится до 30 °С?

12.4.4. Определить время совершения преступления, если в момент обнаружения температура тела равнялась 31 °С, а час спустя составляла 29 °С (считать, что в момент смерти человека температура его тела равна 37 °С, а температура воздуха 21 °С).

12.4.5. Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин понижается от 100 до 60°С. Температура окружающего воздуха 25 °С. Через какое время с момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 °С?

12.5. Движение материальной точки

При решении задач динамики материальной точки используют второй закон Ньютона

Решение типовых примеров

Пример 7. Материальная точка массой m с начальной скоростью движется прямолинейно. На точку действует сила сопротивления направленная в сторону, противоположную направлению движения, и по модулю равная (k-размерный постоянный коэффициент). Определить время от начала движения точки до остановки и путь s - пройденный точкой.

Решение. Примем за ось Ох прямую, вдоль которой происходит движение, а за начало координат - начальное положение точки. На точку действует только одна сила следовательно, дифференциальное уравнение движения точки имеет вид

Так как точка движется по прямой, то и уравнение принимает вид

Его общее решение

Поскольку при t=0 то Следовательно, Так как в момент t (остановки точки) = 0, то отсюда следует, что Для того чтобы найти х как функцию t, полученное частное решение исходного уравнения перепишем в виде