Основы теории вероятностей Вероятность случайного события

Событие – появление определенного признака, например, заданного числа частиц газа в элементе объема. Вероятность признака равно относительному числу его появления.

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r

– число частиц в единице объема – изменяется с течением времени хаотически.

Событие – наблюдение определенной концентрации .

Если измерение проводится N раз и результат наблюдается раз, то вероятность результата

, (1.1)

Зависимость называется функцией распределения вероятностей событий.

Несовместимые события А₁, А₂,…, А_k не могут произойти одновременно. Например, при бросании кости можно получить результат: или 1, или 2,… Выполняется теорема сложения вероятностей несовместимых событий – вероятность сложного события A или B равна сумме вероятностей отдельных событий. Действительно, выполняется

. (1.2)

Если (А₁, А₂,…, А_k) – полный набор несовместимых событий, то какое-либо одно из них обязательно происходит, тогда выполняется

С учетом (1.2) получаем условие нормировки вероятностей для полного набора событий

. (1.3)

Пример. Движения молекулы газа вдоль и против некоторой оси образуют полный набор независимых направлений движения

W(влево) + W(вправо) = 1.

Если гамильтониан изотропен, то все направления равноправные и

W(влево) = W(вправо) = 1/2.

Независимые события А₁, А₂,…, А_k не влияют друг на друга. Например, частицы идеального газа движутся независимо друг от друга, и положение одной частицы не влияет на положение другой частицы. Выполняется теорема об умножении вероятностей независимых событий – вероятность сложного события А и B равна произведению вероятностей отдельных событий

, (1.4)

Для k независимых событий

Пример. В объеме V₀, все точки которого равноправные, находится одна частица. Объем V₀ разбиваем на N одинаковых ячеек объемом . При обследовании всех ячеек, т.е. при измерениях, положительный результат будет только в одной ячейке. Вероятность найти частицу в одной произвольной ячейке согласно (1.1)