1.5 Алгебраические критерии устойчивости

Для линейной системы уравнения её движения в пространстве состояний можно представить в следующем виде:

где

Или в развернутой форме:

Любое частное решение однородной системы вида:

будет обращаться в тождество, где λi произвольные числа.

Подставляем в частное решение и после очевидных преобразований получим следующую систему линейных однородных алгебраических уравнений из которых можно найти λi:

Решая эту систему можно найти xi. Известно, что нетривиальное решение такой системы будет при условии равенство нулю главного определителя системы

Это и будет характеристическое уравнение системы, a λ ,1λ ,2....λn являются корнями характеристического уравнения.

Получив характеристическое уравнение системы можно определить устойчивость по корням этого уравнения. Для этого запишем общее решение системы

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы

Это условие выполняется в случае, если все корни характеристического уравнения будут "левыми", т.е. будут иметь отрицательные действительные части и располагаться слева от мнимой оси комплексной плоскости.

2. Реализация и исследование модели многомерной системы регулирования

2.1 Постановка задачи и исходные данные

Структурная схема многомерной системы регулирования (в соответствии с вариантом задания №3):

Рис.2.1

Для заданной многомерной системы автоматического регулирования составить математическую модель в виде системы дифференциальных уравнений, устанавливающих взаимосвязь выходных величин y₁(t), y₂(t) с внешними воздействиями g₁(t), g₂(t) и f(t).

Решить полученные дифференциальные уравнения относительно y₁(t), y₂(t) поочередно задаваясь ступенчатым изменением внешних воздействий. Получить графическую иллюстрацию решения.

2.2 Построение математической модели

Используя заданную структурную схему и известные передаточные функции сначала составим математическую модель системы в изображениях по Лапласу. В соответствии со структурной схемой рис.2.1 выпишем уравнения связи:

y₁ = W₁₁u₁ – W_ff;

u₁ = g₁  y₁;

y₂ = W₂₁u₁ + W₂₂u₂;

u₂ = g₂ – y₂.

Подставляя величины u₁ и u₂ в выражения для y₁ и y₂ получим:

Раскроем выражения для передаточных функций:

и избавимся от знаменателей:

(p + k₁)y₁ = k₁g₁ – k₄f;

(T₃p + k₃)y₁ + (p + k₂)y₂ = (T₃p + k₃)g₁ + k₂g₂.

Полученные уравнения представляют собою уравнения общего вида:

A(p)y = B(p) g + C(p) f,

в котором

Для получения нормальной формы Коши

Характеристическое уравнение |A|=0:

p² +(k₁ + k₂)p +k₁k₂ = 0

Для заданных числовых параметров данное характеристическое уравнение имеет положительные вещественные корни. Из чего следует, что решение будет неустойчивым.

Объект системы управляем и наблюдаем, так как r=1=n, согласно критериям Калмана.

По известным матрицам K, N, F, L, H и S составляем описание системы регулирования в нормальной форме Коши:

Для численного решения полученной системы воспользуемся уравнениями Эйлера:

Для последующего исследования динамики системы воспользуемся программным средством Mathcad 15.