- •Работа № 5 Методы решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Цель и задачи работы
- •Теоретическая справка
- •Часть 1. Решение задачи Коши на основе группы методов Рунге.
- •1. Найти решение задачи Коши на интервале (x0-X), используя методы Рунге второго порядка.
- •1. Метод Эйлера.
- •2. Модифицированный метод Эйлера.
- •3. Усовершенствованный метод Эйлера.
- •2. Найти решение задачи Коши на интервале (x0-X), используя методы Рунге четвёртого порядка.
- •3. Оценить полученную точность найденного решения по методу Рунге-Ромберга.
- •4.Сравнить методы по достигаемой точности и требованиям к ресурсам.
- •Часть 2. Решение задачи Коши на основе метод Адамса.
- •Найти решение задачи Коши на интервале (x0-X), используя метод Адамса.
- •1. Используем аппроксимацию второго порядка.
- •2. Используя аппроксимацию четвёртого порядка.
- •Сравнить полученные решения и оценить достигнутую точность.
- •Сравнительная оценка алгоритмов Рунге и Адамса.
Сравнительная оценка алгоритмов Рунге и Адамса.
Недостатком метода Адамса является то, что недостающие значения функции вычисляются в точках по методу Рунге-Кутта соответствующего порядка. Это увеличивает объём программы на ЭВМ. Преимущество многошаговых методов заключается в том, что на каждом шаге правая часть дифференциального уравнения вычисляется только один раз, а в методе Рунге-Кутта четвёртого порядка точности на каждом шаге функция вычисляется четыре раза. Но остаточный член формулы Рунге-Кутта примерно на три порядка меньше, чем в формуле Адамса. Следовательно, для получения результата с одной и той же точностью можно шаг в методе Рунге-Кутта брать примерно в 6 раз больше, чем в формуле Адамса. Поэтому в методе Рунге-Кутта функция вычисляется даже меньшее число раз. Достоинство метода Адамса по сравнению с методом Рунге заключается в простоте оценки остаточного члена метода.