3. Методика решения задач динамики

В уравнения движения неизвестные могут входить как в левые, так и в правые части. В зависимости от этого задачи динамики делятся на два типа, которые рассмотрены ниже.

• Первая задача динамики. Задан закон движения и активные силы, необходимо найти силы реакций связей.

Пример 5. Груз веса , которому в момент времени t₀ = 0 была сообщена некоторая начальная скорость, поднимается по наклонной шероховатой плоскости (рис. 11).

Рис.11 Действие сил на тело, скользящее по наклонной плоскости

Определить величины сил трения и нормального давления , действующих на тело, если известны коэффициент трения о плоскость f и угол наклона α.

Решение. Введем декартовы оси координат, совместив начало отсчета О с положением груза при t = 0. Изобразим груз в произвольном положении и действующие на него силы. Принимая груз за материальную точку, запишем для него второй закон Ньютона

(1)

Проектируя обе части векторного равенства (1) на ось у, имеем

0 = - G cos α + N , (учтено, что ускорение груза параллельно оси х).

Отсюда находим

N = G cos α.

Используя далее закон Кулона, получим силу трения

F_ТР = f N = f G cos α.

Вторая задача динамики. Заданы активные силы, уравнения механических связей, начальное положение точки и ее начальная скорость, необходимо найти закон движения точки и реакции связей.

Вторую задачу динамики рекомендуется решать последовательно в несколько этапов, перечисленных ниже.

1. Рисуют предполагаемую траекторию движения, на которой изображают материальную точку.

2. Рисуют силы, приложенные к точке.

3. Записывают второй закон Ньютона в векторной форме.

4. Выбирают удобную систему координат.

5. Записывают уравнения движения точки в проекциях либо на оси декартовой системы координат, либо на оси естественного трехгранника.

В первом случае все активные силы необходимо выразить через а во втором - через

6. К полученным дифференциальным уравнениям добавляют начальные условия: значения координат и проекций скорости точки в начальный момент времени (с учетом введенной системы координат).

7. Поставленную задачу решают численно или аналитически методами, известными из курса высшей математики.

Решения рекомендуется выполнять, не меняя порядка их следования.

Пример 6. Дополнительно к условиям задачи примера 5 дано, что в момент времени t скорость груза стала равна половине начальной. Найти начальную скорость груза v₀ и путь D, пройденный им за время t.

Решение. Проектируем обе части векторного равенства (1) на ось х. Используя формулы G = mg и F_ТР = G f cos α, получим

= -g (sin α + f cos α).

Общее решение полученного дифференциального уравнения и выражение для скорости груза даются формулами (подробности их получения опущены, а их правильность можно проверить путем дифференцирования)

х = -1/2 g(sin α + f cos α) t² + C₁ t + С₂,

=-g (sin α + f cos α) t+ C_l.

Последние два соотношения должны быть справедливы в любой момент времени t, стало быть, и в начальный момент времени t₀ = 0, и в момент времени t. Соотношения будут удовлетворяться, если в них вместо t, x, dx/dt будут подставлены сначала значения 0, 0, v₀, а затем t,D, v_o /2. После подстановок получим систему четырех уравнений

0 = С₂,

v₀ = С₁,

D = -1/2 g( sin α + f cos α) t² + C₁ t_* + С₂

½ v₀ = g( sin α + f cos α) t + C₁

с четырьмя неизвестными С₁, С₂, v₀. D, решая которую, найдем искомые величины

ПРИЛОЖЕНИЕ А.

(Титульный лист курсовой работы)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

Кафедра «Прикладная механика»

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1(2)

(Статика, кинематика, динамика)

Вариант №

Выполнил: студент группы АТП 04-01

(Ф.И.О)

Проверил: преподаватель кафедры ТПМ

(Ф.И.О)

ТЮМЕНЬ 2007

ПРИЛОЖЕНИЕ Б.

(Пример оформления контрольного задания)

Задача 1. На рис.Б.1 изображена кинематическая схема механизма, называемого двойным дифференциалом. На кривошипе III, вращающемся вокруг неподвижной оси АВ, свободно укреплен сателлит 1V, состоящий из двух наглухо скрепленных между собой конических зубчатых колес радиусами r₁ =6 см и r₂ = 3 см. Колеса сателлита находятся в зацеплении с двумя коническими зубчатыми колесами I и II радиусами R₁ = 12см и R₂=6см, вращающимися вокруг оси АВ, но с кривошипом не связанными. Модули угловых скоростей колес I и II, вращающихся в одном направлении, соответственно равны ω₁ = 4 с^-1 и ω₁₁ = 8 с^-1. Определить угловую скорость кривошипа III и угловую скорость сателлита 1V относительно кривошипа.

Рис.Б.1 Кинематическая схема механизма по условию задачи

Решение. 1. Сателлит IV совершает сложное движение, состоящее из переносного вращательного движения кривошипа III с угловой скоростью ω_е вокруг оси АВ и относительного вращения с угловой скоростью ω_r вокруг оси CD (Рис.Б.1). Необходимо найти скорости ω_е и ω_r. По условию известны модули угловых скоростей колес I и II, поэтому можно найти модули абсолютных (линейных) скоростей точек M₁ и М₂ соприкосновения колес I и II с сателлитом:

υ₁=ω₁ R₁=12*4 = 48 см /с;υ₂ = ω₁₁ R₂=6*8 = 48 см/ с. (Б.1)

Положим для определенности, что колеса I и II вращаются противоположно движению часовой стрелки, если смотреть сверху. Тогда, если смотреть на сателлит справа, векторы υ₁ и υ₂ будут направлены так, как показано на рис.Б.2 При выбранном направлении вращения колес I и II предположим еще, что сателлит IV вращается вокруг оси АВ в том же направлении, что и колеса I, II, а его относительное вращение вокруг своей оси CD совпадает с направлением вращения часовой стрелки, если смотреть справа. Тогда переносные и относительные скорости точек M₁ и М₂ будут направлены так, как показано на Рис.Б.2.

Рис.Б.2 Расчетная схема действия сил, полученная при решении задачи

По теореме о сложении скоростей имеем:

υ_е1 - υ_r1= υ₁ ,υ_е2 + υ_r2= υ₂ , (Б.2)

где υ_е1= ω_е R_1; υ_r1=ω_r r₁;υ_е2= ω₂ R₂;υ_r2=ω_r r₂

Подставляя эти значения в равенства (Б.2), получим:

ω_е R₁ - ω_r r₁= υ_1,,ω_еR₂+ ω_r r₂= υ_2..

Используя исходные данные и ранее найденные значения (Б.1) скоростей v₁ v₂, приходим к системе линейных уравнений относительно искомых угловых скоростей:

или (Б.3)

Решая систему уравнений (Б.3), находим:

ω_е = 6 с^-1, ω_r = 4 с^-1.

Положительные значения угловых скоростей ω_е и ω_r означают, что принятые направления относительного и переносного движений сателлита IV соответствуют действительным.

ПРИЛОЖЕНИЕ В.1

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Обозначение	Наименование	Единица СИ
1	2	3
A a,b,c,h,l С с с D, d е е F FO FТР f G g I Ix, Iy, Iz Ixy,Ixz,Iyz k k L M	Амплитуда колебаний Длина Ускорение Ускорение переносное Ускорение кориолисово Ускорение нормальное Ускорение относительное Ускорение касательное Единичный вектор направления по бинормали Постоянная интегрирования Коэффициент жесткости Постоянная Коэффициент угловой жесткости Диаметр Число 2,7183 Смещение Сила Амплитуда вынуждающей силы Сила трения Пара сил Коэффициент трения скольжения Сила тяжести, вес Ускорение свободного падения Момент инерции относительно оси Моменты инерции относительно координатных осей Центробежные моменты инерции Единичные векторы направления по координатным осям Угловая частота собственных колебаний Коэффициент восстановления Кинетический потенциал Момент пары сил	м м м/с^2 м/с^2 м/с^2 м/с^2 м/с^2 м/с^2 Н/м ^- Н*м/рад м м Н Н Н Н м/с^2 кг*м^2 кг*м^2 кг*м^2 - рад/с Дж Н*м

ПРИЛОЖЕНИЕ В.2

1	2	3
MO (М) М^ф m mv (К) N n n n1,n2 P p p Q, (К) Q q q R R R S T T T v ve vr X, Y, Z x,y,z,s z	Главный момент системы сил относительно точки О Момент силы относительно точки О Главный момент сил инерции Масса Количество движения материальной точки Нормальная реакция Единичный вектор направления по главной нормали Частота вращения Частота вынуждающей силы Собственная частота механической системы Сила в зацеплении зубчатых колёс Угловая частота вынуждающей силы Давление Количество движения механической системы Обобщенная сила Интенсивность распределённой нагрузки Обобщённая координата Сила реакции, сопротивления, реактивная Радиус Главный вектор внешних сил Радиус - вектор Радиус, полярный радиус Импульс силы, ударный импульс Кинетическая энергия Период колебаний Время Скорость Скорость переносная Скорость относительная Составляющая сила реакции Координата Число зубьев зубчатого колеса, шестерни	Н*м Н*м Н*м кг кг*м/с Н - об/мин Гц Гц Н рад/с Н/м^2 кг*м/с - Н/м - Н м - - м Н*с (кг*м/с) Дж с с м/с м/с м/с Н м -

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ2.105 – 95 ЕСКД. Общие требования к текстовым документам.

2. ГОСТ 2.102 – 68 ЕСКД. Виды и комплектность конструкторских документов.

3. ГОСТ 2.106 – 95 ЕСКД. Текстовые документы.

4. ГОСТ 2.109 – 95ЕСКД. Эскизный проект.

5. ГОСТ 2.004 – 88 ЕСКД. Общи требования к выполнению конструкторских и технологических документов на печатающих и графических устройствах вывода ЭВМ.

6. ГОСТ 2.304 – 81 ЕСКД. Шифры чертежные.

7. Сокращение отдельных слов и словосочетаний приводят в соответствие с ГОСТ 7.12 — 93 и ГОСТ 7.11-78.

8. ГОСТ 7.1 - 84 «Библиографическое описание документа. Общие требования и правила составления».

9. ГОСТ2.316 – 68 ЕСКД. Правила нанесения на чертежах надписей, технических требований и таблиц.

10. Методологические основы научных исследований: Учебное пособие. / Под общей редакцией Ю. Д. Земенкова. – Тюмень: Издательство «Вектор Бук». 2005. – 288с.

11. Лачуга Ю.Ф. М. Теоретическая механика : КолосС, 2005. – 576с.

12. Справочник для студентов технических вузов: С74 высшая математика: физика: теоретическая механика: сопротивление материалов / А. Д. Полянин, В.Д.Полянин, В. А. Попов и др. М.: АСТ: Астрель, 2005. – 735с.

13. Молотников В.Я. Основы Теоретической механики. – Ростов н/Д: «Феникс», 2004. – 384с.

14. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике Под ред. А.А. Яблонского. - М.: Интеграл-Пресс, 1998. - 384с.

СОДЕРЖАНИЕ