2. Математическая модель объекта Формулировка упрощающих допущений Выделим следующие допущения:
структура потоков описывается моделью идеального перемешивания;
теплопотери в окружающую среду отсутствуют; теплофизические свойства жидкостей не зависят от температуры и концентрации компонентов;
теплоемкостью стенок пренебрегаем;
транспортным запаздыванием при изменении входных переменных пренебрегаем;
расход теплоносителя на входе и выходе одинаков; объем теплоносителя в рубашке и рабочий объем постоянны (Vт = const, Vр = const).
Коэффициент теплопередачи считаем постоянным.
2.1 Модель динамики объекта
Реакция происходит в четыре стадии:
Запишем скорость реакции по компонентам в систему (2.2.1) в следующем виде:
(2.2.1)
В соответствии с классификацией переменных и допущениями математическая модель динамики включает в себя:
Уравнения материального баланса по компонентам с условием, что объём постоянен.
Уравнение теплового баланса реакционной смеси.
Уравнение теплового баланса рубашки.
Начальные условия: Vp=Vpo; Ca=Cao; Cb=Cbo; Cc=Cco; Cd=Cdo; t=to: tтн=tтно
Модель динамики представляет собой систему нелинейных ОДУ.
2.2 Модель статики объекта
Модель статики записывается путём приравнивания производных к нулю, а все входные и выходные переменные, присутствующие в правых частях уравнений математической модели, помечаются индексом «0».
0=
ν10
+ ν20
– ν0
Модель статики – это система нелинейных ОДУ.
Моделирование статики и динамики объекта на ЭВМ осуществим при помощи математического пакета MathCAD.
Уравнения динамики и статики решаем при помощи функции Rkadapt. Данная функция реализует решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4 порядка с адаптивным шагом решения. Уравнения статики при помощи процедуры Given-Find.
3. Оптимизация объекта Задача оптимизации
Определить значение технологических параметров, обеспечивающих минимальный объём аппарата при заданном выходе целевого продукта (ψ=75%), заданной нагрузке, заданных значениях входных переменных, заданных ограничений на температуру t=[70-90оС]
Для решения задачи оптимизации используются только уравнения материального баланса по компонентам:
Vp
*
= Vp*(-k1*CA
+k2*CВ)+υ1*CAвх
–υ*CA
Vp
*
= (k1*CA
–
k2*CB–
k3*CB)*
Vp
+ υ1*СВвх
-
υ*CB
Vp
*
= (k3*CВ
–
k4*CC)*
Vp
+ υ1*ССвх
-
υ*CC
Vp
*
= k4*CС*
Vp
+ υ1*СDвх
-
υ*CD
Листинг программы в среде MathCAD:
Зададимся ориентировочными значениями объема и температуры. Пусть V=120 л, t=90˚C.
Т.к. целевым компонентом реакции является компонент В, то критерий оптимизации ψb будем рассчитывать по формуле (3.1):
(3.1)
Рассчитывая оптимальные значения температуры и объема, мы задаемся ориентировочной температурой в 70° и изменяем объем в реакторе от 90 до 210, с шагом 10, затем по полученным данным строим график зависимости объема от температуры.
Аналогично проводятся расчеты и для других объемов при температурах 80˚ и 90˚С. В результате получаем следующие значения:
Рис. 3.1. Зависимость объема от температуры при 70, 80 и 90 °С
Из графиков видно, что при φ=75% V=120л и t=90°C, т.е. topt = 90˚C, Vopt = 120л.
Выполним пересчет поверхности теплообмена Ft, учитывая оптимальные значения объема реактора и температуры реакционной смеси в нем, при условии, что D=H.
С помощью блока Given-Find пересчитаем температуру на входе в рубашку, используя уравнения теплового баланса для реактора:
Выполним проверку полученных оптимальных значений. Для этого решим нелинейную модель с начальными условиями, соответствующими найденным значениям выходных переменных в оптимальном режиме (т.е. оптимальные значения Vp, Ca, Cb, Cc, Cd, t) и постоянном объеме. Если не задавать входным переменным приращений, то графики изменения выходных переменных во времени должны представлять собой прямые.
Используя уравнения материального баланса по компонентам и теплового баланса жидкости в реакторе, запишем вектор-функцию модели:
Рис. 3.2 Графики зависимости выходных переменных от времени
Т.к. полученные графики – это прямые линии, то можно сделать вывод, что найденные значения параметров являются верными и программное средство написано правильно.
Таблица 2